关于集合论的调研.doc

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1、.有关集合论的调研：坚强学号090501211（学院数学系2009级应数2班，邮编：516007，E-mail:550270521qq.）摘要：集合论关键词：集合论，康托，元素，基本规律，公理化集合论1.引言集合论是研究集合的数学理论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有一个机器独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的几乎所有领域。因此我们说集合论是现代数学的的基础。集合论的起源可以追溯到16世纪末，主要是对数集进行了卓有成效的研究。但集合论实际发展是由德国数学家康托在19世纪70年代到80年代创立的。康托提出了基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了

2、集合论的深厚基础。因此，康托被誉为集合论的创始人。2.正文集合的基本定义与性质概括集合的定义集合是集合论的主要研究对象，也是数学中的基本概念。一定围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如①、天津、三城市；②全体英文大写字母；③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数；⑤平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S或S含有m，记为m∈S。如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合

3、。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。....集合与集合的关系按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之来表示(什么顺序都无关系)。如①｛、天津、｝，②｛A,B,C,…,Z｝，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质P(x)来加以概括。如例④中的集合可表示为｛x｜x是自然数｝。这种表示也适用于有穷集，如｛、天津、｝=｛x｜x=或x=天津或x=｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。一

4、个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母来记它。如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B包含于A。例如，偶数全体包含于自然数全体。空集被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A包含于A。A的异于自己的子集B称为A的真子集,记为BA。两集合的相等（即含有同样的元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当A包含于B且B包含于A。包含关系还具备传递性：即由A包含于B,B包含于C可得A包含于C。要注意的是,属于关系∈与包含关系包含于是有区别的：∈是元素对集合的关系，而包含于是集合对集合的关系。可以

5、有包含于，但∈不成立。集合之间的基本规律从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记为A∪B（A与B中的相同元素在并集中出现一次）。以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记为A∩B。以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记为AB；特别,当B包含于A时,可记为CAB，称为B关于A的补（集）。例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，则A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},AB={1}。并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，

6、即对任意的A，B，C，有A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。它们与差运算一起服从德·摩根定律：S(A∪B)=(SA)∩(SB)，S(A∩B)=(SA)∪(SB)。这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有,。集合的集合一个集合也可以以其他集合为元素。这就是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。一个集合A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。

7、例如,当A=｛1,2,3｝时，P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所谓集合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合I(≠)的每一个元素I∈I，都指定有一个确定的集合Ai....，那么，这些Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。例如,当I=N即自然数全体时,{Ai,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。对于集合族{Ai,I∈I},可定义它的并为｛x｜对某I∈I,x∈Ai｝，记为。仿此,可定义它的交为｛x

8、｜对一切I∈I，x∈Ai｝,记为。特别当I=｛1,2,…,n｝时，通常将并写成,将交写成；当n=2时，就是上