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1、第三章物理学中定积分的数值计算方法§3.1定积分基本数值算法及其应用§3.2龙贝格法及其应用§3.3高斯求积法1§3.1定积分基本数值算法及其应用一、矩形法、梯形法和抛物线法(辛普森法)1.矩形法矩形法计算定积分示意图考虑定积分：22.梯形法曲线下所有梯形面积和为：其中：33.抛物线法（辛普森法）把区间分成（偶数）整个曲线用个以抛物设,对于第一个曲边四边形有个均等的小区间线为边界的四边形来替代4该四边形的面积为:显然有，，…………因此5积分值可近似可以表示为：需要说明的是被积函数有时并未写成的形式，给出的被积函数是一组离散的数据点，此时三种计算方法仍旧适用，只需将公式中的换成
2、即可。6例1:将区间两等分，用矩形法、梯形法、矩形法：梯形法：两等分：精确值：抛物线法计算积分7抛物线法：若把区间10等分，有8open(1,file=’int.dat’)write(*,*)’inputa,b,N=?’read(*,*)a,b,NCmethod1：矩形法y1=0.0do10j=0,N-1x1=ax1=x1+float(j)*(b-a)/float(N)10y1=y1+f(x1)*(b-a)/float(N)write(1,*)N,y1write(*,*)N,y1计算程序9Cmethod2：梯形法y2=0.0do20j=0,Nx2=ax2=x2+float(j
3、)*(b-a)/float(N)If(j.eq.0.or.j.eq.N)theny2=y2+0.5*f(x2)*(b-a)/float(N)elsey2=y2+f(x2)*(b-a)/float(N)endif20continuewrite(1,*)N,y2write(*,*)N,y2计算程序10计算程序Cmethod3：抛物线法N:偶数y3=0.0do30j=0,Nx3=ax3=x3+float(j)*(b-a)/float(N)If(j.eq.0.or.j.eq.N)theny3=y3+1./3.*f(x3)*(b-a)/float(N)elsek=j-2*int(j/2
4、)if(k.eq.0)theny3=y3+2./3.*f(x3)*(b-a)/float(N)elsey3=y3+4./3.*f(x3)*(b-a)/float(N)endifendif30continuewrite(1,*)N,y3write(*,*)N,y3endfunctionf(x)f=cos(x)end11EX3-1：用矩形法、梯形法、抛物线法编程计算定积分()作业12二、电磁学中数值积分的应用点电荷的电势：（库仑常数 米.伏/库；真空中介电常数为 法/米）1．电势的计算电量为的点电荷，处产生的电势为：在距离13例2：设有一长直导线均匀带电，线电荷密
5、度为，解：在导线上取一小段，视为点电荷，其电量为，∴长度为，求空间任一点的电势。它在点产生的电势为：14解析法可得结果：数值法：取将代入并用三种数值方法即可得到数值解。解析解：62.326450数值解：15例3：求带电圆环（半径为）在轴线上点的电势（线电荷密度）16例4：带电圆盘（半径为）在轴线上点的电势环带电量，在处的电势为：解析解：=∴数值解：17圆盘轴线上电势分布练习：(1)用三种数值积分方法计算例4中的电势。(2)(随变化的曲线)182．电场强度的计算电量为的点电荷，在距离处产生的电场强度为点电荷的电场强度：19解：圆环上任一点电荷在轴线上点的电场强度例5：求带电圆环
6、（半径为）在轴线上点的电场强度∴（线电荷密度，如下图所示）大小为20圆环轴线上电场强度分布21例6：已知圆环带电量为q，杆的线密度为，长为L。求：杆对圆环的作用力。解：圆环在dq处产生的电场RqLxo在杆上位置x处取一个电量为dq的微元22RqLxodq所受电场力为：取q=1，=1，R=1，L=1其中由上式可得F=2.6323932E+09a=0，b=1，N=100矩形法F=2.6164170E+09梯形法F=2.6323049E+09辛普森法F=2.6323930E+09带电圆环与杆间作用力F:23当杆沿x轴正向平移距离a，杆对环的作用力又是多少？24取一半径为，宽为的
7、圆环带，其电量∴其中数值解：已知例7:求均匀带电圆盘在轴线上的电场强度。为电荷整个圆盘的电场解析解：面密度，为圆盘半径。它在轴线上的电场强度为25圆盘轴线上电场强度分布26练习：(1)(2)(随变化的曲线)（用三种方法，注意的选取）用三种数值积分方法计算例7中的场强。27EX3-2：对圆盘轴线上一点采用解析法和数值法（三种）计算（1）（2）观察随的变化。作业28例8：求载流圆线圈轴线上一点P的磁感应强度毕－萨定律：图中电流元在P点产生磁感应强度dB：IPxRox3．磁场的计算29根据对称性IPxRoxP
