以函数为载体的不等式考题例析.doc

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1、.以函数为载体的不等式考题例析函数是高中数学的重要容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起．以函数为载体，综合不等式交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型不等式证明问题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题．下面就以2004年各地高考试卷中的以函数为载体的不等式问题选解几例，以开阔读者的视野．例1(2004年全国高考卷)设函数=

2、1－

3、，x＞0，证明：当0＜a＜b，且=时，ab＞1．证明：因=

4、1－

5、=故在(0，1上是减函数，而在(0，＋∞)上是增函

6、数．由0＜a＜b，且=得：当0＜a＜1＜b时，－1=1－，即2ab=a＋b．∵a＋b＞2，∴2ab=a＋b＞2，故＞1，即ab＞1．评析：判断函数在两个不同区间的单调性是解题的关键，由此才可以确定a、b在分段函数中的两个不同区间，直接影响着解题思路的形成．例2(2004年全国高考卷)已知函数=ax－x的最大值不大于，又当x[，]时，≥．⑴求a的值．⑵设0＜a＜，=，nN*，证明：a＜．⑴解：由于=ax－x=－(x－)＋的最大值不大于，所以=≤，即a≤1．①....又x[，]时，≥，所以a≥1．②由①和②得a=1．⑵证明：㈠当n=1时，0＜a＜，不等式0＜a＜成立；因为当0＜x＜时，＞0，所以0

7、＜a=≤＜，故n=2时不等式也成立．㈡假设n=k(k≥2)时，不等式0＜a＜成立，因为=x－x的对称轴为x=，知在[0，]为增函数，所以由0＜a＜≤得0＜＜，于是有0＜a＜－·()＋－=－＜，即当n=k＋1时，不等式也成立．根据㈠㈡只知，对任何nN*，不等式a＜成立．评析：由于在闭区间上二次函数的最大值和最小值必然在函数图象的顶点处或区间端点处取得，因此，讨论二次函数在闭区间上的最值问题要抓住顶点的横坐标和二次函数单调性之间的关系进行处理．数学归纳法证明不等式，特别是数列不等式，思路直观，但从k到(k+1)的变形过程中要有一定技巧，一般结合放缩法，使数列和式变大或缩小，从而达到证明的目的．此题

8、在证明过程中借助函数单调性，使解题思路自然．例3(2004年全国高考卷)已知函数(xR)满足下列条件：对任意实数x，x都有(x－x)≤(x－x)[－]和

9、－

10、≤

11、x－x....

12、，其中是大于0的常数．设实数a，a，b满足=0和b=a－．⑴证明：≤1，并且不存在b≠a，使得=0；⑵证明：(b－a)≤(1－)(a－a)；⑶证明：[]≤(1－)[]．证明：⑴任取x，xR，x≠x，则由(x－x)≤(x－x)[－]①和

13、－

14、≤

15、x－x

16、②可知，(x－x)≤(x－x)[－]≤

17、x－x

18、·

19、－

20、≤

21、x－x

22、，从而≤1．假设有b≠a，使得=0，则由①式知0＜(a－b)≤(a－b)[－]=0，矛盾．∴不存在b≠

23、a，使得=0．⑵由b=a－，③可知(b－a)=[a－a－]=(a－a)－(a－a)＋[]．④由=0和①式，得(a－a)=(a－a)[－]≥(a－a)．⑤由=0和②式知，[]=[－]≤(a－a)．⑥则将⑤、⑥代入④，得(b－a)≤(a－a)－(a－a)＋(a－a)=(1－)(a－a)．⑶由③式，可知[]=[－＋]=[－]＋2....[－]＋[]≤(b－a)－2·[－]＋[]=[]－2·[－]＋[]≤[]－··(b－a)＋[]=[]－2··[]＋[]=(1－)[]．评析：函数是高中数学的重要容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起．以函数为载体，综合不等式交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型不等式证

24、明问题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位．由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题．例4(2004年全国高考省理科试题)已知=(aR)在区间[－1，1]上是增函数．⑴略；⑵设关于x的方程=的两根为x、x．试问：是否存在实数m，使得不等式m＋tm＋1≥

25、x－x

26、对任意aA及t[－1，1]恒成立？若存在，求出m的取值围；若不存在，请说明理由．解：⑵由=，得x－ax－2=0，∵△=a＋8＞0，∴x、x是方程x－ax－2=0的两实根，∴，从而

27、x－x

28、==．∵－1≤a≤1，∴

29、x－x

30、=≤3

31、，要使不等式m＋tm＋1≥

32、x－x

33、对任意aA及t[－1，1]恒成立，当且仅当m＋tm＋1≥3对任意t[－1，1]恒成立，即m＋tm－2≥0对任意t[－1，1]恒成立．②设g(t)=m＋tm－2=mt＋(m－2)，....方法一：②m≥2或m≤－2．所以，存在实数m，使得不等式m＋tm＋1≥

34、x－x

35、对任意aA及t[－1，1]恒成立，其取值围是m≥2或m≤－2．方法二：当m=0时，②显然不成立；当