太原理工大学2009矩阵论试题.doc

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1、太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生《矩阵分析》试卷1、选择题：（10分）（1）设T是上的线性变换，A,则下列集合不构成子空间的为（）(A)(B)(C)(D)（2）设T是线性空间上的线性变换，，则下列不正确的是（）(A);(B)T()=;(C)若线性相关，则线性相关。(D)若线性无关，则线性无关。（3）设V为酉空间，则有（）(A)(x,y)=(y,x)(B)(x,y)=(x,y)(C)但(D)+（4）设A为酉矩阵，则下列等式不正确的是（）(A)(B)(C)(D)（5）给定—矩阵，则可逆的充要条件

2、是（）(A)满秩(B)(C)与E相似(D)与E等价2、填空题（20分）（1）设，则,，=，=;（2）已知，则的约当标准形是;（3）已知，则存在可逆阵，使，此时;（4）已知,,=,则.3、简答题：（10分）（1）设的子空间，写出与的和是直和的四个等价说法。（2）设是线性空间上的线性变换，写出为正交变换的三个等价说法。（3）设为厄米特阵，写出为正定阵的两个等价说法。（4）设是矩阵，写出为的一个—广义逆的一个等价说法。4、（10分）已知实线性空间上的变换定义为:（1）验证是线性变换；（2）求的一组基，使在

3、该基下的矩阵为对角阵。5、（8分）在实数域上的次数小于的多项式全体中，对于多项式与，定义实数（1）验证是中与的内积（2）当时，取问为何值时，与正交？6、（10分）设与（1）验证与均为的一组基，（2）求由基到的过渡矩阵，（3）元在下的坐标。7、（8分）已知，求解柯西问题：8、（8分）已知,求9、（8分）设，用圆盘定理（1）估计的特征值的分布范围；（2）证明至少有两个实特征值。10、（8分）证明在上的每一种方阵范数，在上都存在与它相容的向量范数。太原理工大学2002级工程硕士《矩阵分析》试卷1.（4分）

4、设，是线性空间的两个子空间，试写出与的和为直和的四个等价说法。2.（6分）已知，其中，试求,,.3.（10分）已知，试求：1）A的最小多项式；2）.4.（15分）设是上次数小于等于2的多项式全体组成的线性空间，1）证明为上的一个内积；2）求正交于的子空间的一组基；3）从基，求一组正交规范基（标准正交基）。5.（10分）设是维酉空间的线性变换，证明下列说法等价：1）是酉变换；2）保持向量的长度不变；3）将中的标准正交基变为标准正交基；4）在任一组标准正交基下的矩阵是酉矩阵。6.（10分）设，且为厄米特

5、阵，1）证明；2）已知厄米特阵，试求。7.（15分）已知及为的两组基，求：1）从基到基的过渡矩阵；2）在两组基下的坐标；3）线性变换在两组基下的矩阵。8.（15分）已知，，，1）求；2）应用矩阵函数法求微分方程满足初始条件的解。9.（15分）设为中的线性变换，使对任一有，其中，1）求在基，，，下的矩阵；2）问的特征值是如何定义的，试说明其合理性并求之；3）求的一组基，使得在该基下的矩阵为对角阵。太原理工大学2003级攻读硕士学位研究生《矩阵分析》试卷1.填空题：（本题20分）（1）已知，则的Jord

6、an标准形（2）已知，，则，，。（3）已知，且幂级数的收敛半径为6，则矩阵幂级数是，其理由是。（4）设为阶方阵，，则。（5）设，则2.（本题10分）在矩阵空间中，已知，定义变换（1）验证是线性变换；（2）求的特征值与特征向量。3.（本题10分）给定实线性空间的基，设，在该基下的坐标分别为：和，定义实数，证明：（1）实数是的内积；（2）在该内积下，基是的标准正交基。4.（本题10分）设，定义实数，证明：是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。5.（本题15分）已知，（1）求（2）求，的解。6.（本题1

7、5分）已知，，（1）求；（2）用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解。（3）求方程组的最小范数解。7.（本题10分）在多项式空间中，设，线性变换为，求的一个基，使在该基下的矩阵为对角阵。8（本题10分）已知，用Gerschgorin定理分离的特征值，并在复平面上画图表示。