习题课微分中值定理及导数的应用ppt课件.ppt

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1、第4章微分中值定理与导数的应用一、内容提要（一）主要定义1.对于函数f(x)和点x0,若存在x0的某去心邻域,使对于此去心邻域的任意x,都有f(x)

2、a,b)内可微,f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使f()=0.(2)拉格朗日(Lagrange)定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,则至少存在一点(a,b),使f(b)-f(a)=f()(b-a).(3)柯西(Cauchy)定理设f(x)与F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,且F(x)0,则至少存在一点(a,b),使(4)泰勒(Taylor)定理设f(x)在x0的某邻域U(x0,)内具有直到n+1阶的导数,则xU(x0,),有型余项.此公式称f(x)的n阶泰勒公式.称为Lagrange当x0=0

3、时,此公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,和佩亚诺(Peano)余项Rn(x)=o(

4、x–x0

5、n).2.洛必达(LHospital)法则limf(x)=limg(x)=0(或),存在或为,则3.4.设f(x)在x0处连续,在某去心邻域内可微,当x在内从x0左侧经过x0到右侧时,f(x)由正变负,则f(x0)为f(x)的一个极大值;f(x)由负变正,则f(x0)为f(x)的一个极小值.(第一充分条件)5.f(x0)=0,f(x0)0,那么,当f(x0)0时,f(x0)为极大值；当f(x0)0时,f(x0)为极小值.(第二充分条件)6

6、.设f(x)在(a,b)内具有二阶导数,则当f(x)0时,曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；当f(x)0时,曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.7.设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),f(x0)=0,且在x0的左、右二阶导数变号,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.(拐点的第一充分条件)8.设f(x)在x0处三阶可导,f(x0)=0,f(x0)0,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.(拐点的第二充分条件)（三）结论补充1.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,x0是f(x)在(a,b)

7、内唯一驻点,若x0是极大值点,则x0必是f(x)在[a,b]上的最大值；若x0是极小值点,则x0必是f(x)在[a,b]上的最小值.3.设f(x)在x0处具有n阶连续导数,且2.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若在(a,b)内f(x)0,则a是最小值点,b是最大值点；若在(a,b)内f(x)0,则a是最大值点,b是最小值点.f(x0)=f(x0)=···=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)0,则当n为奇数时,f(x0)不是极值；当n为偶数时,f(x0)是极值.且当f(n)(x0)0时,f(x0)是极大值；当f(n)(x0)0

8、时,f(x0)是极小值.则y=ax+b是y=f(x)的斜渐近线.4.若在x0的某邻域内,f(x)具有n阶连续导数,且f(x0)=···=f(k-1)(x0)=0,f(k)(x0)0,(kn)则当k为偶数时,(x0,f(x0))不为y=f(x)的拐点；当k为奇数时,(x0,f(x0))为y=f(x)的拐点(k0).5.若均存在,则x=c是y=f(x)的铅直渐近线.则y=c是y=f(x)的水平渐近线.6.对于型未定式,可视分子或分母无穷小的阶数,对分子或分母进行佩亚诺替换,替换公式为7.设limu(x)=1,limv(x)=,则有limu(x)v(x)=expl

9、im[u(x)–1]v(x).8.设lim(x)=0,lim(x)=0,(x)0,则有9.设lim(x)=0,lim(x)=0,一．不等式的证明：１．利用微分中值定理例４-２若f(x)二阶可导,且f(a)=f(b)=0(ab),试证明在(a,b)内至少有一点,使证此题用Taylor公式来证.分别在a,b两点将f(x)展开成Taylor公式,然后将c上两式相减并取

10、f()

11、=max{

12、f(1)

13、,

14、f(2)

15、},有代入,则有证令f(x)=ex–1–ln(1+x),则有f(0)=0,f(0)=20