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1、第三讲微分中值定理与导数的应用习题课内容提要典型例题1一、内容提要1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数定理.的单调性和求极值的方法.25.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).3洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定
2、理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、内容提要41.微分中值定理及其相互关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxf-¢+=abafbff--=¢)()()(x0=n52.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(3)证明恒等式或不等式(4)证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性6利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题
3、的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.7(1)研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)解决最值问题目标函数的建立最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用8二、典型例题例证明方程在(0,1)内至少有一实根[分析]如令则的符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证证令则且故由Rolle定理知即在(
4、0,1)内有一实根9且满足罗尔定理其它条件,练习证：10例提示：满足Rolle定理的条件P181题711在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数用Rolle定理,使即有例证分析0)(2)(=+¢xxxff0)()(2)(2=¢+=¢xxxxxffF12例分析构造辅助函数F(x),则问题转化为的零点存在问题.证设设Rolle定理使得因此必定有13例.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由
5、介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在14例解极限不等于零的因子15运用取对数法.例解1617运用取对数法.例解P137题418这是数列的极限罗必达例解思考：此题如何用重要极限的方法求解？19例P181题10（4）20思考：此题如何用重要极限的方法来求解？21例解法1罗比达法则1)51(2lim540-+=-®xxx原式590)51(42lim-®+-=xx.21-=22例解法2泰勒展开式23例证法一用单调性设即由证明不等式24可知,即法二用Lagrange定理设Lagrange定理由得即25例证明不等式证P152题9（3）26例.求数列的最大项.证:设用对数求导
6、法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:P181题1427例问方程有几个实根解同时也是最大值分三种情况讨论P151题528①由于方程有两个实根，分别位于②方程仅有一个实根，即③方程无实根①②③2930?!30五、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内导，且f(1)=0,试证：至少在一点，使得3132附：证不妨设由Lagrange定理，有33得注此题还可利用泰勒公式来做34
