二尺度展开法ppt课件.ppt

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1、二尺度展开法二尺度展开法渐进展开建立弹性细观结构的基本方程细观结构的有效性能变分形式有限元公式二维问题二尺度展开法二尺度展开法，也称为渐进展开法，或者称为数学展开法，是一种数学上的均匀展开，特别是它与有限元方法结合后，其适用范围变得更广。现在二尺度展开法已经广泛应用于周期性细观结构的均匀化分析。假定一个弹性体是周期性细观代表体元(RVE)的集合，宏观尺度坐标x与细观尺度坐标y的关系满足(1)是一个非常小的正数，表示一个RVE与整个结构体的大小之比。这表明，细观尺度坐标是一个很大的数，而宏观尺度坐标却是一个很小的数。

2、这就好比是拿着放大镜来看一个很小的东西。位移场可以渐进展开成渐进展开(2)是一个关于宏观材料点的函数，通过指数与细观尺度的坐标y联系起来。后面可以证明是一个只与宏观尺度的坐标x有关的值，它表示宏观位移的平均值。而等式右端其他项与细观尺度的坐标y有关，表示细观不均匀性对平均值的扰动。指数表示函数与两个尺度坐标的联系。注意到，对于一个一般函数F，有(3)那么，对于应变张量，有(4)(5a)(5b)(5c)式(5b)、(5c)中等式右边第二项表示由细观不均匀性引起的导数值。渐进展开应力-应变关系可表示为(6)那么应力可表

3、示成(7)(8)对于弹性体，其弹性系数也是一个与有关、以x为周期的函数，渐进展开由方程(5)和(8)，得到(9a)(9b)(9c)渐进展开周期性细观结构的弹性问题可描述为(10a)in(10b)on(10c)on(11a)(11b)(11c)把方程(7)代入(10)中，并使阶数相等，可得建立弹性细观结构的基本方程在F的均值为零时具有唯一解，即(12)式中，V表示RVE的体积，把它应用到方程(11a)，得(14)要求解方程组(11)，这里必须引入一个重要结论。对一个周期为Y的函数，方程(13)建立弹性细观结构的基本方

4、程这表明只是x的函数。(16)于是，位移场的方程可重写成(15)我们可认为是宏观位移，而是细观位移，方程(16)的物理意义是：由于细观位置的非均匀性，真实位移在平均位移周围快速振荡，是细观结构的扰动位移。建立弹性细观结构的基本方程那么从方程(8)和(5a)，可得到把方程(14)代入方程(11b)，我们可得到平衡方程(17)式中是宏观应力，式(18)即为宏观平衡方程。把方程(11c)在上取平均值，并对其第二项运用情况(13)，得到宏观平衡方程(18)建立弹性细观结构的基本方程细观结构的有效性能把方程(19)代入到(9

5、b)得然后，在RVE上积分，得到弹性介质等效应力-应变关系假设位移场和的关系可表示为(19)(20)(21)式中，(22)(23)是均匀的弹性系数，由方程(23)可以看出，必须在求解均匀性能之前计算出，一般采用有限元方法。细观结构的有效性能(21)细观结构的有效性能到这里，我们已经了解二尺度展开法的基本思想了，可以利用上面的公式计算出平均应力、平均应变和平均弹性系数，前面提到的式(21)可将三者联系起来。如果没有即没有细观不均匀性，表示均匀材料。实际的计算中我们首先要解决的并不是平均应力或平均应变，而是平均弹性系数

6、。通过数学方法我们可以找到的表达式，进而确定的值。变分形式(24)(25)对一个周期为Y的函数,我们定义一个平均算子，上面提到的方程的变分形式可结合有限元方法来建立。对于任意虚位移，方程(11a)的变分形式是均匀化方法中，为趋于0的正数。那么，对方程(24)有在方程(26)上应用散度定理得(26)那么(28)(27)变分形式那么，(30)(29)(9b)(11b)变分形式对于任意虚位移，把方程(9b)代入(11b)的变分形式得(31)引入函数，它满足(32)变分形式分部积分，注意到，在RVE的边界上的虚位移，以及只

7、是的函数。于是有并把方程(32)代入到方程(31)中，得到对方程(33)运用散度定理得(33)(34)变分形式有限元公式导数可表示成函数有限元形式的插值可表示为：(35)(37)式中是形函数N对的导数，注意函数与无关。(36)因此，由方程(23)定义的均匀弹性常数可表示成：(38)式中的弹性系数可以表示为最后，方程(38)中的用有限元方法进行计算，并通过方程(39)计算得到有效性能。(39)(40)(23)其中有限元公式函数有限元形式的插值可表示为：(41)式中，D是应力应变矩阵，B是依赖于形函数的离散的位移-应变

8、矩阵，是应力应变矩阵D中取kl(空间问题中取kl=11,22,33,23,31,12)的向量，是与kl有关的特征位移向量，对不同的应变状态需要分别求解六个方程。有限元公式我们考察一个正交弹性体的平面应力问题，应力-应变关系为下面，将给出二尺度展开法中二维问题详细的有限元公式。对此，有三种变形模式(),即要计算。(41)柔度系数可由工程常数表示，(42)二维问