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1、第七章尺度空间在不同的应用背景中，图像的光滑程度是不同的，是经过不同程度的图像光滑而得到的，将这些图像光滑变换有机的结合起来，就形成了抽象框架——尺度空间。前面讨论的是单个变换的性质，现在讨论尺度空间中一族图像变换所具有的特性。首先，尺度空间赋予两个方面的限制条件：一方面与尺度空间的结构有关，包括规则性、局部比较原则和金字塔结构。另一方面的限制与不变性有关，包括平移不变性、伸缩不变性、欧氏不变性和仿射不变性以及灰度平移不变性和对比不变性，依次讨论在不同限制条件下尺度空间所具有的特性。另外，尺度空间具有一个重要的特征——被一个偏微分方程所控制。7.1尺度空间的定义尺度空
2、间（scalespace）是一个抽象的框架，从算法的观点看，是滤波器的迭代。在这个框架中，可以分析滤波器迭代所具有的逼近性质，对滤波器进行分类。例如，所有的线性滤波器都可以归为一类，因为所有的线性滤波器局部化和迭代后都收敛于同一个结果——热传导方程初值问题的解。定义1：一族以t≥0为参数的图像光滑算子Tt称为一个尺度空间，记为{Tt}t∈R+，其中t称为尺度参数。对于一副图像u0(x)，称Ttu0是图像在u0在尺度t的映像，尺度参数t定量的反映图像被光滑的程度。在尺度空间上定义一个性质比较好的代数结构：定义2：称尺度空间具有金字塔（pyramidal）结构，如果T0=
3、id，任取t，h，存在Tt+h,t，使得Tt+h=Tt+h,tTt，其中Tt+h,t被称为转移算子，id是图像的恒等变换。图刻画了此结构，说明光滑程度较大的Tt+su0可以在尺度空间{Tt}t∈R+中沿一条光滑图像所组成的路径Ttu0(t﹤s)到达。Tt+sTt+s,tTtTt+su0u0Ttu0如果Tt+h,t=Th，则该尺度空间就构成了一个有恒等元（图像的恒等变化）的半群。定义3：尺度空间{Tt}t∈R+是递归的（recursive），如果对于任意的s,t﹥0和图像uT0=id和Tt+s(u)=Ts。Tt(u)如果满足递归条件，那么Tt可以Tt/n迭代n次得到。所
4、有的运算都是对图像信息作组合，没有其它的特征在这个过程中加入进来，所以参数t越大，图像内容就越简单，即，图像u0在尺度s﹥t的映像Tsu0比Ttu0‘简单’。例：前面把热传导方程初值问题在t时刻的解作为图像光滑算子，记为Rt。不同时刻的Rt就组成一个尺度空间{Rt}t∈R+，Rt(u0)就是‘图像u0在尺度空间{Rt}t∈R+中尺度t的映像’，记方程在t时刻的解为ut，在t+s时刻的解为ut+s，容易证明ut+s也是下面方程s时刻的解，满足定义3。7.2尺度空间的性质再为尺度空间加上一些限制条件，一部分是由图像变换所必须满足的一些基本性质转化而成的，另一部分是为了导入
5、偏微分方程作为分析尺度空间的数学工具而特别添加的。定义4：设x,y为图像中的点，y在x的某一邻域中。如果两幅图像u,v满足u(y)﹥v(y)，那么存在足够小的h满足(Tt+h,tu)(x)≥(Tt+h,tv)(x)如果对于任意点x∈W式都成立，则称尺度空间{Tt}t∈R+满足局部比较原则（localcomparisonprinciple）。如果尺度空间{Tt}t∈R+满足局部比较原则，那么经过一个很短的‘时间’h后，图像u局部比v亮（灰度值大）的这种特性依然得到保留。为导入偏微分方程提出下面的定义，首先约定一个记号<,>表示内积，即对于图像支撑集中的两点x=(x1,x
6、2),y=(y1,y2)=x1y1+x2y2定义5：假设y在x的某个邻域中，具有u(y)=1/2·++c*形式的函数u被称为是一个二次式，其中A是一个2×2的对称矩阵，p是一个2维向量，c为一个常数。称尺度空间是规则的（regular），如果存在一个函数F(A,p,x,c,t)，它对于A是连续的，并且(Tt+h,tu-u)(x)∕h→F(A,p,x,c,t)当h→0**定义说明：（1）根据图像模型的假设u∈C2，那么图像可以作以下的展开u(y)=u(x)++1/2·
7、+o(
8、x-y
9、2)*式中二次式u的特殊之处就是o(
10、x-y
11、2)为0，**成立也仅仅局限于二次式（2）F拥有5个自变量A,p,x,c,t，实质却是9个实数自变量。其中对称矩阵A包含3个实参数；一个二维向量p包含2个实参数；常数c是一个实参数；一个二维点x包含2个实参数；正的尺度参数t是一个实参数。定义6：称尺度空间是因果的（causal），如果它是规则的，同时满足局部比较原则和金字塔结构。例：Extremakill算子，其步骤一、事先给定一个阈值t；二、记图像u在灰度l的水平集为cu(l)，它由若干个连通区域cau(l)组成三、去除面积比阈值t小的
