根与系数的关系及应用(学案).doc

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1、根与系数的关系及应用知识点：1、一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0(a≠0)时，如Δ≥0，有下列公式：2、当ax2+bx+c=0(a≠0)时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式；Δ=b2-4ac分析，（1）两根互为相反数Û=0且Δ≥0Ûb=0且Δ≥0；（2）两根互为倒数Û=1且Δ≥0Ûa=c且Δ≥0；（3）只有一个零根Û=0且≠0Ûc=0且b≠0；（4）有两个零根Û=0且=0Ûc=0且b=0；（5）至少有一个零根Û=0Ûc=0；（6）两根异号Û＜0Ûa、c异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û＜0且＞0Ûa、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大

2、于正根绝对值Û＜0且＜0Ûa、c异号且a、b同号；（9）有两个正根Û＞0，＞0且Δ≥0Ûa、c同号，a、b异号且Δ≥0；（10）有两个负根Û＞0，＜0且Δ≥0Ûa、c同号，a、b同号且Δ≥0.反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．利用一元二次方程根与系数的关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．典型例题：1．已知一个根，求另一个根　例1方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的

3、小根为b，求a-b的值．　变式练习.个根。　3．求代数式的值　　在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．例3已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：　　变式练习：（1）（x1-3）（x2-3）（2）（x12-3）（x22-3）2．求作新的方程　　例2,求作一个二次方程，使它的两根为1和2。　变式练习：4、求系数的值或取值范围例4.已知关于x的一元二次方程：求：实数m的值。变式练习1.（1）证明：不论m为何实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）m为何实数时，两根之差的绝对值等于4。式练习2.实数根，问x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应

4、的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。巩固练习一、选择题1.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.2.如果a是一元二次方程的一个根，－a是一元二次方程的一个根，那么a的值等于（）A.1或2B.0或－3C.－1或－2D.0或33.若是方程的两个根，则的值为（）A.－7B.－1C.D.4.方程所有根的乘积等于（）A.－18B.18C.－3D.35.如果关于x的方程的两个实数根互为倒数，那么m的值为（）A.B.C.2D.－26.如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（）A.1B.±1C.2D.±27.若一元二次方程的两根为，那么的

5、值是（）A.15B.－3C.3D.以上答案都不对8.已知是方程的两个实数根，则的值是（）A.B.C.3D.9.若是方程的两个实数根，则的值等于（）A.B.C.D.3三、解答题1.求方程两根的差的平方。2.已知是方程的两根，且，求k的值。3.求作一个方程，使它的两根分别为4.已知：关于x的方程。（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程的两实数根分别为，当时，求m的值。