第3章线性方程组的间接解法.doc

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1、第七节迭代法及其收敛性 一、迭代法的一般格式在前面我们已经介绍了解线性方程组（1）的一些直接方法，下面我们将简略介绍一下解方程组(1)的另一类方法——迭代法，所谓迭代法是这样一种方法，对任意给定初始近似,按某种规则逐次生成序列使极限(2)为方程组(1)的解，即设把矩阵A分解成矩阵N和P之差其中N为非奇异矩阵,于是,方程组(1)便可以表示成即(3)其中,据此,我们便可以建立迭代公式(4)我们称迭代公式(4)中的矩阵B为迭代矩阵.若序列收敛显然有即，极限便是所求方程组的解.定义1（1）对给定的方程组(3)

2、，用公式(4)逐步代入求近似解的方法称为迭代法.(2)如果存在(记为)，则称迭代法收敛，此时就是方程组的解,否则称此迭代法发散.为了讨论迭代公式(4)的收敛性,我们引进误差向量.(5)由(3)和(4)便得到误差向量所满足的方程(6)递推下去,最后便得到(7) 二迭代法的收敛性若欲由(4)所确定的迭代法对任意给定的初始向量都收敛,则由(7)确定的误差向量应对任何初始误差都收敛于0.定义2若(8)则称矩阵序列依范数‖·‖收敛于.由范数的等价性可以推出，在某种范数意义下矩阵序列收敛，则在任何一种范数意义下该

3、矩阵序列都收敛.因此,对矩阵序列收敛到矩阵，记为(9)而不强调是在那种范数意义下收敛.从定义及矩阵的行(列)范数可以直接推出下面定理.定理1设矩阵序列及矩阵，则收敛于的充分必要条件为,因此，矩阵序列的收敛可归结为元素序列的收敛.此外,还可以推出下面定理.定理2迭代法(4)对任何都收敛的充分必要条件为(10)定理3矩阵序列收敛于0的充分必要条件为(11)证明如果,则在任一范数‖·‖意义下有而由第六节定理4有所以必有反之，若则存在足够小的正数，使,则第六节定理5可知,存在范数使，.于是因为所以即定理4迭代

4、法(4)对任意都收敛的充分必要条件为 三迭代法的收敛速度考察误差向量设B有n个线性无关的特征向量,相应的特征值为,由得可以看出，当愈小时，愈快，即愈快，故可用量来刻划迭代法的收敛快慢.现在来确定迭代次数k，使(12)取对数得定义3称(13)为迭代法(4)的收敛速度.由此看出,愈小,速度R(B)就愈大，(12)式成立所需的迭代次数也就愈少.由于谱半径的计算比较困难,因此,可用范数‖B‖来作为的一种估计.定理5如果迭代矩阵的某一种范数，则对任意初始向量，迭代公式(4)收敛,且有误差估计式(14)或(15)

5、证明利用定理4和不等式,可以立即证得收敛的充分条件,下面推导误差估计式.因为方程组的精确解，则又,则由第六节定理7可知,I-B可逆，且由于两边取范数即得又由于所以，即有了定理5的误差估计式,在实际计算时,对于预先给定的精度，若有则就认为是方程组满足精度的近似解.此外，还可以用第二个估计式(15)来事先确定需要迭代的次数以保证第八节雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法 一雅可比迭代法设线性方程组(1)的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令并将A分解成(2)从而(1)可写成令其中.(3)以为迭代矩阵的迭代

6、法(公式)(4)称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5)其中为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及.例1例1用雅可比迭代法求解下列方程组解将方程组按雅可比方法写成取初始值按迭代公式进行迭代，其计算结果如表1所示表1 0123456700.720.9711.0571.08531.09511.0983…00.831.0701.15711.18531.19511.1983…00.841.150

7、1.24821.28281.29411.2980… 二高斯—塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法.把矩阵A分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(

8、公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用量表示的形式为(9)由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.例1例2用高斯——塞德尔迭代法求解例1.解取初始值，按迭代公式进行迭代，其计算结果如下表2表20123456700.721.043081.093131.099131.099891.099991.100.9021.167191.195721.199471.199931.1