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《第4章线性方程组的直接解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第4章线性方程组的直接解法本章主要内容线性方程组的直接解法——消元法（高斯消元法、主元消元法）.矩阵的三角分解法（Doolittle分解、Crout分解、LDU分解）紧凑格式改进平方根法.本章重点、难点一、消元法（高斯消元法、列主元消元法）本章求解的是n阶线性方程组Ax=b的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组）%內+即兀2+•••+%“£內+。22兀2+…+。2“兀3=优①內+色2七+…+%”兀二仇1.高斯消元法①高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组AX二b的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用
2、冋代法求岀此线性方程组的解。冋代公式:②高斯消元法计算公式：消元公式：=知，勺⑹=久0,j=1,2,...,n)对k=1,2,…,72c伙）_仃伙-1）Qik门伙-1）"一"一盘"加)•X"=；；_])(i=n-l,n-2,…,1)ann旷)-Edr=Zzit]'冶)u(z=n-.n利用鬲斯消兀法进行消元时，消元过程能进行到底的充分必耍条件是系数矩阵A的各阶顺序主了式不为零。或要求。沪)工0伙=若。沪)=0(k=l,n)，则消元法过程无法进行；若虽然4：宀工0,但很小，用它作除数，会引起很大的误差。所以为了减小舍入谋差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法(包括列主元消
3、元法和全主元消元法)。1.主元消元法①列主元消元法的计算步骤：在进行第k(k=l,2,...,n-1)步消元时，首先在第k列下而的n-k+1个元素中选取绝对值最大的元素必巴即1^-°!=max
4、^-°
5、作为列主元索，然后将列主元所在方程与第k个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。②全主元消元法的计算步骤：在进行第k(k=l,2,...,n-l)步消元时，首先在第k行至第n行和第k列至第n列的(n-k+1)'个元素屮选取绝对值最人的元素磴严，即肚”卜黔*/笄)
6、作为全主元素，然后将全主元所在行与第k行交换，将全主元所在列与第k列交换，再按照高斯消元法进行消元、回代计算
7、。例1用高斯消元法、列主元消元法解线性方程组X]—+2兀3=—2解1.高斯消元法用炖阵的初等行变换法求解①消元"1-12-2_1-12-21-12-2[a：/?]=-21-12>0-13-2>0-13-2_4-121_03-67_0031得同解上三角方程组为:一无2+3心=—23兀3=1②回代得：133<羽=2+3><丄=3-3rcr11x.=—2+3—2x一=一33方程组的解为：1X]=—13<=3■1X.=—32.列主元消元法4%,一兀2+2x3得同解上三角方程组为:2—0.75x2+1・5无3=—1・75①消元1-12-2_4-12-1"_4-12-1_-21-12>-21
8、_12>00.501.54-1211-12-20-0.751.5-1.75「4-12-14-12■-1、0-0.751.5-1.75、0-0.751.5-1.7512200.501.500113J1A1=—3②回代，得方程组的解为：x2=3二矩阵的三角分解（包括Doolittle分解和Crout分解）㈠矩阵的三角分解和线性方程组的关系若线性方程组Ax=b的系数矩阵A能进行三角分解，即A=LR,贝懈线性方程组Ax=b等价于求解两个系数矩阵为三和阵的方程组LY二b和RX二Y。其屮消元法的消元过程就是分解系数矩阵为A二LR,并解线性方程组LY二b,而回代过程则是解方程组RX二Y。卩二
9、b人-1用代入法解方程组LY二b的计算公式为：］儿=bk-工仁儿m=k=2,3,…,n兀“=儿/rnn=3再回代解方程组RXh的计算公式为：xk=（儿-m=k+k=n—*,1㈡矩阵的三角分解是将给定的n阶矩阵A,找到一个下三角矩阵L和上三角矩阵R,使得A=LR.1.Doolittle分解:是指将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R,即A=LR.2.Crout分解：是指将矩阵A分解为下三角矩阵E和单位上三角矩阵斤，即3.LDU分解：是指将矩阵A分解为单位下三角矩阵L、对角矩阵D和单位上三角矩阵R,即A=LDR.■（）r注意：不是任何方阵都可以进行三角分解。例如二阶非奇
10、界矩阵就没有三角分10■■解。㈢矩阵八进行三角分解的条件与结论：若矩阵A的所有顺序主子式detAkHO（k=l,2,旷1）,则①存在唯一单位下三介阵L和上三也阵R.使得A二LR；②存在唯一的单位下三角阵L、对角阵D和单位上三角阵U,使得A=LDU.㈣主元消元法与矩阵分解的条件与结论：若n阶矩阵A非奇异，即detAHO,则①存在n阶置换矩阵P,元索•绝对值不大于1的单位下三角阵L和上三角阵R,使得PA二LR②存在n阶置换矩阵P和Q,元素绝对值不大于1的单位下三角阵L和上三角阵R,使
