第4章线性方程组的迭代解法.ppt

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1、第4章线性方程组迭代解法基础教学部数学教研室彭晓华立体化教学资源系列——数值分析线性方程组迭代解法4.1引言当A为低阶稠密矩阵时，选主元消去法是有效方法。对于大型稀疏的线性方程组迭代法是合适的。迭代法的基本步骤（1）等价形式B称为迭代矩阵。（2）迭代公式线性方程组A为非奇异矩阵。基本思想:用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。（3）任取向量,由上式生成向量序列。若，则迭代过程收敛。线性方程组迭代解法（3）计算机算法？本章讨论（2）迭代法的收敛性与收敛速度？误差估计？（1）常用的迭代方法及具体形式？4.2基本迭代法4.2

2、.1雅可比迭代法一、三阶方程组的雅可比（Jacobi）迭代法例1解方程组线性方程组迭代解法解1）等价形式2）雅可比迭代公式3）取初始向量.终止条件线性方程组迭代解法显然迭代序列逐步逼近精确解迭代计算结果如表二、n阶方程组的雅可比迭代法线性方程组迭代解法第i个方程对于n阶线性方程组Ax=b,A为非奇异矩阵，且等价方程雅可比(Jacobi)迭代公式：对于任取x(0),计算得三、雅可比迭代法的矩阵描述，其中，线性方程组迭代解法终止条件为满足精度Ɛ的近似值。，即雅可比迭代公式的矩阵形式:线性方程组迭代解法其中，称为雅可比迭代矩

3、阵，调用函数Jacobi.m解例1.线性方程组迭代解法计算得到输入A=[1031;2-103;1310];b=[14-514]';ep=0.005;[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep)x=0.9982k=7index=1迭代成功，收敛。1.00010.99824.2.2高斯—塞德尔(G-S)迭代法线性方程组迭代解法例2解下面方程组（与例1相同，精确解）解1）等价方程组2）高斯-赛德尔迭代公式线性方程组迭代解法3）取初始向量线性方程组迭代解法迭代计算，得【注】高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。线性方

4、程组迭代解法二、n阶方程组的高斯—塞德尔迭代法第i个方程等价方程组任取初始解向量计算得迭代序列高斯-赛德尔(G-S)迭代公式对于终止条件G-S迭代的矩阵形式线性方程组迭代解法【注】（1）迭代法的分量形式:用于计算编程；矩阵形式:用于研究迭代序列是否收敛等理论分析。（2）Jacobi适合并行计算.不足:需存放两个向量。（3）G-S迭代法只需一个向量存储空间。三、高斯—塞德尔迭代法的矩阵描述矩阵表示调用函数Gauss_Seidel.m解例1.线性方程组迭代解法x=0.9998k=4index=1迭代成功，收敛。0.9998

5、1.0001得到输入A=[1031;2-103;1310];b=[14-514]';ep=0.005;[x,k,index]=Gauss_Seidel(A,b,ep)（4）在某些情况下，G-S迭代法加速收敛，但它是一种典型的串行算法。例3分别用雅可比和高斯-赛德尔迭代法解方程组，均取相同初值1）Jacobi迭代4次达到精度G-S发散。线性方程组迭代解法2）Jacobi发散，G-S发散。3）Jacobi迭代89次达到精度G-S迭代8次达到同样的精度。线性方程组迭代解法4）Jacobi发散，Jacobi和G-S可能同时发散

6、；【注】也可能同时收敛，但一个快另一个慢；可能一个收敛而另一个发散。G-S迭代10次达到精度.线性方程组迭代解法4.2.3逐次超松弛(SOR)迭代法SOR迭代法:G-S迭代法基础上,用参数校正残差加速.一、逐次超松弛迭代公式G-S迭代公式中加、减线性方程组迭代解法第i个方程的残差:【注】（1）G-S：对旧值，经残差校正而得新的近似值，校正量大小为（2）为加速收敛，将校正量乘加速因子有ω为松驰因子.当时为低松驰因子；时为当G-S公式；称为超松驰因子.20二、逐次超松弛迭代法的矩阵描述其中，松弛迭代矩阵整理得记作写成矩阵形

7、式线性方程组迭代解法例4用SOR解方程组，取解方程组的精确解为：取初值用G-S迭代得线性方程组迭代解法利用SOR方法初值迭代计算结果线性方程组迭代解法【注】SOR迭代5次，与G-S法迭代10次的结果大体相同，SOR方法的松驰因子起到了加速收敛的重要作用.线性方程组迭代解法【注】最佳松驰因子：使迭代收敛最快，记为（１）特殊情形若A为对称正定的三对角矩阵时其中为Jacobi迭代矩阵的谱半径（２）其它情形采用试算方法例方程组取精度为:为较佳的松弛因子显然线性方程组迭代解法4.3迭代法的收敛性研究：（1）收敛性与迭代矩阵关系？

8、（2）迭代公式收敛的充要条件？充分条件？（3）迭代收敛速度？4.3.1迭代法收敛性判别（迭代法收敛的充要条件）n阶线性方程组，，A为非奇异矩阵，且等价形式为一、迭代矩阵B精确解满足线性迭代公式线性方程组迭代解法【定理1】设，，收敛（迭代法收敛的充分条件）由如果，则【定理2】设，若，则收敛,且二、迭代矩阵的范数【注】迭代矩阵范数小于