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1、第83课时二项式定理一、知识要点1.二项式定理：2.二项式通项公式：（r=0,1,2,…,n）3.二项式系数的性质：的展开式的二项式系数有如下性质：（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）（4）4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(
2、-1)⑶a0+a2+a4+a6……=⑷a1+a3+a5+a7……=⑸a0=f(0)⑹
3、a0
4、+
5、a1
6、+
7、a2
8、+
9、a3
10、……+
11、an
12、=?5.注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别。自主复习1（湖北卷）在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有A．3项B．4项C．5项D．6项2的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）6解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；（1），当r＝0，3，6，9，12，15，18，2
13、1，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C；（2）的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B；点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。3（06江西卷）在（x－）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（）A.23008B.－23008C.23009D.－230094（0
14、6山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（）(A)－45i(B)45i(C)－45(D)455（06浙江卷）若多项式（）(A)9(B)10(C)－9(D)－10解析：（1）设（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006；则当x＝时，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0（1），当x＝－时，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009（2），（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－230
15、09¸2＝－23008，，故选B；（2）第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A；（3）令，得，令，得；点评：本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题；典例剖析三、例题分析题型1二项式通项公式的应用【例1】.如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例1.解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=x，
16、T9=.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.【变式与拓展】．.求式子（｜x｜+－2）3的展开式中的常数项.解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得CC（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（
17、x
18、+－2）3=（－）6.设第r+1项为常数项，则T=C·（－1）r·（）r·
19、x
20、=（－1）6·C·
21、x
22、，得6－2r=0，r=3.∴T3+1=（－1）3
23、·C=－20.题型2组合和二项式知识的综合应用【例2】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数..解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为Ca3C·（－2b）4C（－3c）3=CCC（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－CC×16×27【变式与拓展】.（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+－4）
24、4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=（1－x）7=（1－x
