第二部分专题三第二讲冲刺直击高考.doc

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1、1．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N+)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又因为a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)因为bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，2Tn＝2＋2＋＋＋…＋.所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.2．(2012·郑州模拟)

2、已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得解得所以{an}的通项an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝

3、3．(2012·武汉模拟)已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差不为零，且a2＝3，又a4，a5，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数对(n，k)，使得nan＝kSn？若存在，求出所有的正整数对(n，k)；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a4，a5，a8成等比数列，所以a＝a4a8.设数列{an}的公差为d，则(a2＋3d)2＝(a2＋2d)(a2＋6d)．将a2＝3代入上式化简整理得d2＋2d＝0.又因为d≠0，所以d＝－2.于是an＝a2＋(n－2)d＝－2

4、n＋7，即数列{an}的通项公式为an＝－2n＋7.(2)假设存在正整数对(n，k)，使得nan＝kSn，则由(1)知Sn＝＝6n－n2.于是k＝＝＝＝2＋.因为k为正整数，所以n－6≤5，即n≤11，且5能被n－6整除，故当且仅当n－6＝±5，或n－6＝1时，k为正整数．即当n＝1时，k＝1；n＝11时，k＝3；n＝7时，k＝7.故存在正整数对(1,1)，(11,3)，(7,7)，使得nan＝kSn成立．4．(2012·嘉兴模拟)甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500mL，同时从

5、甲、乙两个容器中各取出100mL溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n－1(n≥2，n∈N+)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an、bn.记a1＝10%，b1＝20%.(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；(2)求证：数列{an－bn}是等比数列，数列{an＋bn}是常数数列；(3)求数列{an}，{bn}的通项公式．解：(1)由题意知，an＝＝an－1＋bn－1，bn＝＝bn－1＋an－1.(2)证明：由(1)知，an－bn＝(an－1－bn－1)，又因为a1－b1≠0，所

6、以数列{an－bn}是等比数列；an＋bn＝an－1＋bn－1＝…＝a1＋b1＝30%，所以数列{an＋bn}是常数数列．(3)因为a1－b1＝－10%，数列{an－bn}是公比为的等比数列，所以an－bn＝－10%×n－1.又因为an＋bn＝30%，所以an＝－5%×n－1＋15%，bn＝5%×n－1＋15%.5．已知正项等比数列{an}满足：log3a1＋log3a3＝4，log3a5＋log3a7＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，

7、数列{bn}满足：bn＝；若存在n∈N*，使不等式m<(b1＋b2＋…＋bn)n成立，求实数m的取值范围．解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q，根据题意得a1a3＝a＝34，则a2＝32，同理得a6＝36，由a6＝a2q4，可得q＝3.故an＝3n，n∈N*.(2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，∴bn＝＝－，∴b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.设f(n)＝n，则f(n＋1)－f(n)＝－n·≤0，∴f(1)＝f(2)>f(3)>f(4)>…，∴f(n)≤f(1)＝.故m的取值范

8、围是.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn；(3)若cn＝tn[lg(2t)n＋lgan＋2](0