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时间:2020-09-24
《第五章第三节等比数列及其前n项和.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、选择题1.+1与-1两数的等比中项是( )A.1 B.-1C.±1D.解析:设等比中项为x,则x2=(+1)(-1)=1,即x=±1.答案:C2.(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为( )A.2B.4C.8D.16解析:由anan+1=16n,得an+1an+2=16n+1,两式相除得,==16,∴q2=16,∵anan+1=16n,可知公比为正数,∴q=4.答案:B3.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列
2、”是“a=anan+2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:显然,n∈N*,an,an+1,an+2成等比数列,则a=anan+2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,…答案:A4.(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( )A.80B.30C.26D.16解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知:2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去)
3、,同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.答案:B5.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则S6=( )A.63B.64C.31D.32解析:令等比数列{an}的公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2,又a1=1,4a1,2a2,a3成等差数列,则4q=4+q2,得q=2.∴S6==26-1=63.答案:A二、填空题6.已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-a+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8
4、=________.解析:由题意可知,b6b8=b=a=2(a3+a11)=4a7,∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=16.答案:167.在等比数列{an}中,若a1=1,a4=-8,
5、a1
6、+
7、a2
8、+…+
9、an
10、=127,则n=________.解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{
11、an
12、}的公比为
13、q
14、=2,则
15、an
16、=2n-1,
17、a1
18、+
19、a2
20、+
21、a3
22、+…+
23、an
24、=1+2+22+…+2n-1=2n-1.所以2n-1=127
25、,n=7.答案:7三、解答题8.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.解:(1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,∴Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.∴an=(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1==.∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.9.已知数列{an}的前n项和
26、为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=n.(1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(2)设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式.解:(1)证明:由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项,为公比的等比数列.(2)法一:由(1)知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1
27、(n≥2),两式相减得2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn(n≥2).又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,c2=c1.∴数列{cn}是首项为,公比为的等比数列.∴cn=·n-1=n.法二:由(1)bn=-·n-1=-n,∴an=-n+1.∴cn=-n+1-=n-1-n=n-1=n(n≥2).又c1=a1=也适合上式,∴cn=n.10.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)
28、设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.当n≥2时,有两式相减,得an+1=3an(n≥2).又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.因此,an=a1·3n-1(n∈N*).(2)因为Sn==a1·3n-a1,bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.要使{bn}为等比数列,当且仅当
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