(经典)讲义：等比数列及其前n项和.doc

《(经典)讲义：等比数列及其前n项和.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}

2、，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，

3、∴Sn＝(q≠1)．7.1由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.117.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{

4、an}是等比数列．一、知识梳理1.等比数列前项和公式(1)探索导引:求和说明：对于等比数列的前项和公式:从方程观点看:由等比数列的前项和公式及通项公式可知,若已知中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1.2.与前项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列中,公比为,依次项和成公比为的等比数列.(2)若等比数列的公比为,且项数为,则.探索导引:等比数列中，已知，，求，并考虑等式是否成立？说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是成等比数列,而不是成等比数

5、列.二、方法（一）等差数列前项和公式的应用11理解例题1:在等比数列中，（1）已知求；（2）已知求；（3）已知求和；（4）已知求；分析:在等比数列中有五个重要量只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中和两个最重要的量,通常要先求出和.解:(1)..(2)，(3)，，(4)（2）÷（1）得或当时，，当时，知识体验:已知等比数列的五个量中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前项和公式.（二）与等差数列前项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列中,求.分析:在有关等比数列的问题中,均可化成有关、的关系列方程求解.本题中注意下标的

6、关系,可考虑用等差数列前项和的有关性质来简化运算.解法一:由，可知（若）解得，解法二:成等比数列知识体验:在学习了等比数列前项和的有关性质后，我们用其来求解有关等差数列的前项和问题.方法提炼:求解该类问题一般有两种方法:①可化成有关、的关系列方程组求解.②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.11三、例题（一）题型分类全析1．等比数列前项和公式的基本运算例1：在等比数列的中:求公比,及.思路直现:由已知两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出.解:由已知可得总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解

7、方程是解决数列问题的基本方法.例2已知数列是等比数列,其前项和,若,求该数列的公比.思路直现:由已知两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出.解:若,则,,,此时,即,即故.笔记：在使用等比数列的前项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对进行讨论.本题有关等比数列前项和的基本运算的考查.转化为关于的方程组求解.本题考查了等比数列前项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知的值,故对进行讨论.2．利用等差数列的性质求和例3：等比数列中，，求?思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决.解:是等比数列，

8、成等比，故故或注意到，同号,笔记：遇到类似下标成倍数关系的前项和问题,一般可考虑用等比数列中依次项和成等比数列来解决,可简化计算量.在已知本题考查了等比数列连续等段和成等比的性质