创新教程2016年高考数学大一轮复习第七章第7节立体几何中的向量方法课件理新人教A版.ppt

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1、(理)第7节　立体几何中的向量方法Ⅰ.理解直线的方向向量与平面的法向量．Ⅱ.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．Ⅲ.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．Ⅳ.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用．Ⅴ.能用向量法解决空间的距离问题．整合·主干知识1．用向量证明空间中的平行或垂直(1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量____(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有____个．(2)若直线l

2、⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量，显然一个平面的法向量也有____个，它们是____向量．平行无数无数共线质疑探究：在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可以作为平面法向量的坐标．(3)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y使v＝xv1＋yv2.③设

3、直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(4)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2．用向量计算空间角和距离空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝

4、cos〈m

5、1，m2〉

6、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝

7、cos〈m1，m2〉

8、.②如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉．1．(2015·西安模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：因为直线l的方向向量a＝(1，－1,2)与平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平

9、面垂直，故选B.答案：B2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2答案：C3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案：C4．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．答案：①②③聚集·热点题型[典例赏析1](2

10、015·湖北省八校联考)如图，直三棱柱ABCA′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.(1)求证：无论E在何处，总有B′C⊥C′E；用向量证明垂直或求异面直线所成的角(2)当三棱锥BEB′F的体积取得最大值时，求异面直线A′F与AC所成角的余弦值．[思路索引](1)借助于线面关系证明B′C⊥面ABC′，从而可证B′C⊥C′E.当VBEB′F为最大值确定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值．(2)以B为原点建系，用向量求解．[解析](法一)(1)证明：由题意知，四边形BB′C

11、′C是正方形，连接AC′，BC′，则B′C⊥BC′.又AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C.∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′.又C′E⊂平面ABC′，∴B′C⊥C′E.[变式训练]1．(2014·郑州第一次质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求证：AC⊥平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值．[典例赏析2]用向量证明平行或求二面角(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60°，求∠BDC的大小．[思路索引]立体

12、几何题目一般有两种思路：传统法和向量法．传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成．(1)要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角