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时间:2020-09-25
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1、高一数学每日一题1.数列{an}满足a1=2a,an+1=2a-(n∈N*),其中a是不为零的常数,令bn=.(1)数列{bn}构成什么数列并证明你结论;(2)求数列{an}的通项公式.2.知函数f(x)=,数列{xn}通项由xn=f(xn-1)(n≥2,且n∈N*)确定.(1)求证是等差数列;(2)当x1=时,求x100.3.在等差数列{an}中,(1)已知a2+a3+a10+a11=48,求a6+a7;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.4.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=.(1)求证
2、:数列{}为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.5.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{
3、an
4、}的前n项和Tn.6.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.(1)求公差d的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.8.数列{an}满足a1=1,
5、=+1(n∈N*).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)设Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1,若Tn≥a恒成立,求a的取值范围.9.已知各项均为正数的数列{an}满足a-an+1an-2a=0(n∈N*),且a3+2是a2、a4的等差中项,求{an}的通项公式.10.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:a1,(a2-a1),…(an-an-1),…此数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.11.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1
6、)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn.12.若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列S1,S2,S4的公比;(2)若S2=4,求{an}的通项公式.13.已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式an满足Sn+an=(n2+3n-2),求通项公式an.14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=6,Sn=3Sn-1-2Sn-2+2n(n≥3).(1)求证:{}(n∈N*)是等差数列;(2)求Sn.15.设一元二次方程anx2-an+1x+1=
7、0(n∈N*)有两个根x1,x2,满足6x1-2x1x2+6x2=3,且a1=.(1)用an表示an+1;(2)求{an}的通项公式;(3)求{an}的前n项之和Sn.每日一练答案1[解] (1)数列{bn}构成等差数列.证明如下:∵bn=,∴bn+1=,∴an=+a,an+1=+a,∴+a=2a-,即=a-=.∴bn+1=bn+,即bn+1-bn=,∴数列{bn}是等差数列.(2)由(1)可知b1==,∴bn=+(n-1)=,∴=,即an=a.2[解] (1)xn=f(xn-1)=(x≥2,n∈N*),∴==+,-=(n≥2,n∈N*).∴是
8、等差数列.(2)由(1)知的公差为.又x1=,∴=+(n-1)·,∴=2+(100-1)×=35,∴x100=.3[解] 根据已知条件a2+a3+a10+a11=48,得2(a6+a7)=48,∴a6+a7=24.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,得a2+a5=17.解:得或∴d===3,或d===-3.4[解] (1)证明:当n≥2时,=,得an-1-an=4an-1an.两边同除以an-1an,得-=4,即-=4,对n>1且n∈N*时成立,∴{}是以=5为首项,以d=4为公差的等差数列.(2)由(1)得=+(n
9、-1)d=4n+1,∴an=,∴a1a2=×=.假设a1a2是数列{an}中的第t项,则at==,解得t=11∈N*,∴a1a2是数列{an}中的第11项.5[解] a1=S1=-×12+×1=101.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-3n+104.∵n=1也适合上式,∴数列通项公式为an=-3n+104.由an=-3n+104≥0得n≤34.7,即当n≤34时,an>0,当n≥35时,an<0.(1)当n≤34时,Tn=
10、a1
11、+
12、a2
13、+…+
14、an
15、=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
16、(2)当n≥35时,Tn=
17、a1
18、+
19、a2
20、+…+
21、a34
22、+
23、a35
24、+…+
25、an
26、=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(
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