医学高等数学3.3定积分ppt课件.ppt

《医学高等数学3.3定积分ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、旧知回顾：不定积分的概念不定积分的计算定义2：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分（indefiniteintegral）记为∫f（x）dx＝F（x）＋C积分常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分与原函数是总体与个体的关系。基本积分表(k为常数)不定积分的运算法则１不为零的常数因子，可移动到积分号前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）2两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和∫[f(x)±g(x)］dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx第一类换

2、元法（凑微分法）则有换元公式熟练之后中间过程可省略定理2设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函数t＝φ-1(x)存在且可导，并且∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋C，则第二类换元法(去根号法）分部积分公式两边积分当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时，就可以使用这个公式．分部积分法3.2.3*有理函数积分简介有理函数总可以写成两个多项式的比其中n为正整数，m为非负整数，a0≠0，b0≠0，设分子与分母之间没有公因子，当n＞m时，叫做真分

3、式；当m≥n时，叫做假分式；多项式很容易地逐项积分，真分式的积分要化成部分分式的积分。假分式=多项式+真分式假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和．例如部分分式在初等数学中，我们会求规则图形的面积，如三角形、圆形、多边形的面积。对无规则封闭曲线围成的平面图形面积如何计算，是定积分要解决的问题．3.3.1定积分的概念3.3.2定积分的性质3.3定积分3.3.1定积分的概念我们先介绍曲边梯形的概念，然后由求曲边梯形面积和变速直线运动的路程入手，引出定积分的概念问题提出一、曲边梯形的面积O设y＝f(x)在

4、区间[a，b]上连续，由直线x＝a，x＝b，OX轴及曲线y＝f(x)所围成的图形aMNb称做曲边梯形（curvilineartrapezoid）MN任意曲线围成的平面图形的面积都由几个曲边梯形面积的代数和构成．如图中MdNcM的面积可由aMdNb和aMcNb面积之差求得．因此，只要会求曲边梯形面积，就会求任意曲线围成的平面图形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积Aabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）

5、（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放解决步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;在第i个小区间上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得2)近似替代（以直代曲）3)求和(曲边梯形面积的近似值为:)4)取极限令曲边梯形面积为：即小区间的最大长度当分割无限加细时，趋近于0l二、变速直线运动的路程匀速直线运动：路程=速度×时间设某物体做直线运动，已知速度v(t)≥０是时间间隔［T1，T2］

6、上的一个连续函数，要计算在这段时间内物体所走的路程s．与前面曲边梯形的面积的求法类似，仍采取分割、近似、作和、取极限（λ→0）的四步骤．变速直线运动的路程速度v(t),时间[T1,T2]区间分割：近似：在小区间上用匀速代替变速路程=速度×时间变速直线运动的路程速度v(t),时间[T1,T2]区间分割：取近似：求和：取极限：上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割、近似、求和、取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限所求量只和两个因素有关:函数、函数的变化范围三、定积分(definiteint

7、egral）的定义定义3设函数f(x)在[a,b]上有界，用分点将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,…,n)每个小区间的长度为在每个小区间上任取一点，取函数值与小区间长度作乘积，(i=1,…,n)，并作和式令若时，上述和式的极限存在，极限值不依赖对[a,b]的分法，也不依赖的取法则称函数f(x)在[a,b]上可积，并称这个极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和根据定积分定义：曲边梯形面积变速直线运动的路程关于定积分定义，有几点注

8、明：(1)定积分是一个和式的极限，是唯一的一个数，它只与被积函数和积分上、下限有关，与积分变量无关．即(0)=区间长度(2)为了定积分定义的完整性，规定：(3)可积性：被积函数在积分区间有界是可积的必要条件连续函数是定积分存在的充分条件曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和(4)定积分几何意义几何意义：例利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取3.3.2定积分的性质