高考数学专题复习讲练测专题一专题复习导引4提高教学能力.doc

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1、§4　提高数学能力　　一、复习要点 　数学高考对数学能力的要求，以逻辑思维能力为核心，全面考查运算能力、思维能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力．　　1．逻辑思维能力　　会对问题或资料信息进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行判断与推理；能准确、清晰、有条理地进行表述．　　数学的逻辑思维过程，也就是运用数学的思想方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取与转化、加工与传输的思维活动过程．为了实现这样的逻辑思维过程，必须掌握和运用好信息的提取、转化、加工与传输的原理及其方法．这里所说的原理

2、和方法，是从思维的角度来讲的，并非对物质而言，突出地反映了数学的学科特点．对逻辑思维能力的考查要求，与试题的解答结合起来就是：能正确领会题意，明确解题的目标与方向；会采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和演算，实现解题目标，并加以正确表述．　　2．运算能力　　会根据概念、公式、法则对数、式、方程进行正确的运算和变形；能分析条件，寻求和设计合理的运算途径；能根据要求对有关数据进行估计，并能进行近似计算．　　在数学科考试中，数值计算、字符运算和各种式子的变形，都是重要的考查内容．上述对运算能力的要求可概括为“准确、熟练、快捷、合理

3、”八个字，而且反映出重在算理和算法的考查，并对运算的灵活性和实用性也有一定的要求．应懂得恰当地应用估算、图算、近似计算和精确计算进行解题．　　3．空间想象能力　　能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．　　空间想象能力是重要的数学能力之一，也是一种基本的数学能力．对这一能力的上述考查要求，强调的是对图形的认识、理解、应用．既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出形象；既会观察分析各种几何要素（点、线、面、体）的相互位置关系，又能对图形进行变换和

4、综合．为了增强和发展空间想象能力，必须强化空间观念，培养直觉思维的习惯，把抽象思维与形象思维紧密结合起来．　　4．分析问题和解决问题的能力　　能阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决带有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．　　这里所说的问题，不是泛指的一般问题，而是能用中学数学知识和高中毕业生应具备的基本常识所能解决的相关问题，可以是纯数学问题，也可以是实际问题（可以化归为数学问题的相关问题、生产问题或生活问题）；其次，问题给出的方式采用的是材料的

5、陈述，而不是客体的展示．也就是说，考查中所提出的问题，通常已进行过加工，并通过语言文字、符号或图形，展现在考生眼前，要求考生读懂、看懂．因此，对阅读数学材料的能力要求较高；其次，试题既是以问题为中心，而不是以知识为中心，解答起来，从分析、思考到求解，往往要用到多项知识和技能，带有明显的综合性质，对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求；此外，在熟练应用数学术语、符号、图表、图形表述解题过程和解答结果方面，也有相当的考查要求．总之，在分析问题和解决问题的能力考查中，不仅仅是要求解答几个应用问题，而是有着更深一层的意义，核心是

6、应用数学的意识和能力．　　二、例题讲解　　例1已知ｆｎ（ｘ）＝（1＋2ｘ）（1＋2２ｘ）…（1＋2ｎｘ）．　　（1）设ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项的系数为ａｎ，求ａｎ的表达式；　　（2）设ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ２项的系数为ｂｎ，求证：ｂｎ＋1＝ｂｎ＋2ｎ＋1·ａｎ；　　（3）是否存在常数ａ、ｂ，使ｂｎ＝（8／3）（2ｎ－1－1）（2ｎa＋ｂ）对一切ｎ≥2，ｎ∈Ｎ都成立？如果存在，求出ａ、ｂ的值；如果不存在，说明理由．　　讲解：这是一个数列与二项式的综合题，第（1）、（2）小题容易解决，第（3）小题是一个探索性问题，可先用特殊值

7、法求出ａ、ｂ的值，再用数学归纳法证明．　　（1）根据多项式乘法的运算法则，ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项的系数为　　ａｎ＝2＋2２＋2３＋…＋2ｎ＝2ｎ＋1－2．　　（2）用为ａｎ、ｂｎ分别是ｆｎ（ｘ）的展开式中ｘ项、ｘ２项的系数，则可设ｆｎ（ｘ）＝1＋ａｎｘ＋ｂｎｘ２＋…，则　　ｆｎ＋1（ｘ）＝ｆｎ（ｘ）·（1＋2ｎ＋1ｘ）　　＝（1＋ａｎｘ＋ｂｎｘ２＋…）（1＋2ｎ＋1ｘ）　　＝1＋（ａｎ＋2ｎ＋1）ｘ＋（ｂｎ＋2ｎ＋1·ａｎ）ｘ２＋…　　又ｆｎ＋1（ｘ）＝1＋ａｎ＋1ｘ＋ｂｎ＋1ｘ２＋…　　∴　ｂｎ＋1＝ｂｎ＋2ｎ＋1

8、·ａｎ．　　（3）假设存在ａ、ｂ，使得ｂｎ＝（8／3）（2ｎ－1－1）（2ｎａ＋ｂ）对一切ｎ≥2，ｎ∈Ｎ恒成立，则　　ｂ２＝（8／3）（2－1）（2２ａ＋b），　　即4ａ＋ｂ＝（3／8）ｂ２．①　　又　ｂ３＝（8／3）（2２－1）（2３ａ＋ｂ），　　即　8ａ＋ｂ＝（1／8）