高考数学专题复习讲练测-专题一专题复习导引2重视教学思想.doc

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1、§2　重视数学思想　　一、复习要点 　常用的数学思想主要有：函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想． 　1．函数思想　　用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想．函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法．　　函数思想的应用主要有：在求变量的取值范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题．　　2．数形

2、结合思想　　空间形式和数量关系是初等数学研究的两个主要方面．在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开．根据辩证统一的思想，“数”和“形”在一定的条件下可以相互换化、相互渗透．也就是说，代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题也可以代数化（以数促形）．这样，既能避免繁杂冗长的推理与运算，又能沟通数学各分支之间的内在联系．我们把这种解决问题的方法称之为数形结合的思想．　　数形结合思想的本质是：数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系．　　3．分类讨论思想　　自从初中引入字母表示数以来，分类讨论便逐渐渗透于整

3、个中学数学了．解决分类讨论问题的关键是找出分类的动机，即为什么分类；找出分类的对策，即怎样分类．　　引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下四个方面：　　（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；　　（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；　　（3）由图形的不确定性引起的讨论；　　（4）由于题目含有参数而引起的讨论．　　分类讨论的解题步骤一般是：　　（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；　　（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；　　（3）逐类（或逐段）讨论，分级进行；　　（4）归纳总结作出整个题目

4、的总结．　　需要指出的是，并非含有参数的问题都需要讨论，讨论有时也可以回避．含有参数的问题，并非解题一开始就要进行讨论，何时讨论?一般来说，当它影响我们往下解题时，便可考虑对其进行讨论．　　4．等价转化　　等价转化是指同一命题的等价形式．可以通过变更问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现．等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍是原来要求的结果．　　等价转化是使用最多的一种化归，但也并非是永远可行的．数学解题有时还必须施行某些非等价转化来促使问题的解决．非等

5、价转化时，易出现“翻译”失真，必须对“失真”部分另作处理，才能获得原问题的完全解决．尽管如此，非等价转化仍不失为一种极有用的数学化归方法，运用得当不但可使解题成功，还能起到等价转化时所无法解决的作用．　　常用的转化策略主要有：已知与未知的转化；正向与反面的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化；复杂与简单的转化．　　二、例题讲解　　例1　设ａ＞ｂ＞ｃ且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，抛物线ｙ＝ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ被ｘ轴截得的弦长为ｌ，求证：　　　＜ｌ＜2．　　讲解：由于弦长ｌ随变量ａ、ｂ、ｃ的变化而变化，所以若能建立ｌ关于ａ、ｂ、ｃ的函数关系，那么结论相当

6、于确定该函数的值域．　　为了确定函数的值域，需要做好三件事：一是求函数的解析式，这可利用弦长公式和韦达定理来完成；二是化多元函数为一元函数，也就是实施减元的策略，可考虑应用条件ａ＋ｂ＋ｃ＝0；三是确定这个一元函数的定义域，可利用条件ａ＞ｂ＞ｃ及ａ＋ｂ＋ｃ＝0．　　∵　ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，　　∴　ａ＞0，ｃ＜0．　　∴　Δ＝4ｂ２－4ａｃ＞0．　　故方程ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ＝0必有两个不相等的实根ｘ１、ｘ２，即抛物线ｙ＝ａｘ２＋2ｂｘ＋ｃ与ｘ轴必相交，且两个交点的横坐标分别为ｘ１、ｘ２．从而有　　ｌ２＝｜ｘ１－ｘ２｜２＝（ｘ１＋

7、ｘ２）２－4ｘ１ｘ２＝（－2ｂ／ａ）２－4·（ｃ／ａ）＝4[（ｂ２／ａ２）－（ｃ／ａ）]．　　由于ａ＞0、ｃ＜0，而ｂ的正负不能确定，所以可将ｂ＝－（ａ＋ｃ）代入消去ｂ．　　∴　ｌ２＝4［（ａ＋ｃ）２／ａ２－（ｃ／ａ）］＝4［（ｃ／ａ）２＋（ｃ／ａ）＋1］＝4（ｃ／ａ＋1／2）２＋3．　　显然，ｌ２是关于（ｃ／ａ）的二次函数，下面确定该函数的定义域，也就是（ｃ／ａ）的取值范围．　　∵　ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，　　∴　ａ＋2ｃ＜ａ＋ｂ＋ｃ＜2ａ＋ｃ，　　即ａ＋2ｃ＜0＜2ａ＋ｃ，　　∴　－2＜（ｃ／ａ）＜－（1／2）．　　又ｌ２＝4

8、（ｃ／ａ）＋（1／2）２＋3在（－2，－（1／2））上是减函数，　　∴　3＜ｌ２＜12，故＜ｌ＜2．　　例2求函数ｆ（ａ，ｂ）＝［ａ－（ｂ／3）］２＋（－（27／ｂ）２的最小值．　　讲解：观察函数表达式