LMI(线性矩阵不等式)工具箱.doc

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1、LMI：LinearMatrixInequality，就是线性矩阵不等式。在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。对于LMILab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibilityproblem），例如：A(x)

2、falinearobjectiveunderLMIconstraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x)

3、是给定的具有相同维数的矩阵。左侧和右侧的内部因子（innerfactors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1,...,XK以及它们的转置组合而成形成的。解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1,...,XK。2、描述每一个LMI的每一项内容（DescribethetermcontentofeachLMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（MatrixVariables）：例如你要求解X满足A(x)

4、是常量或者变量（Termsareeitherconstantorvariable）。常项（ConstantTerms）是确定的矩阵。可变项（VariableTerms)是哪些含有矩阵变量的项，例如：X*A,X*C'。如果是X*A+X*C'，那么记得要把它当成两项来处理。好了废话不说了，让我们来看个例子吧（下面是一线性时滞系统）。500)this.width=500;"border=0> 针对这个式子，如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q，S1，S2和矩阵M，那么我们就称作 该

5、系统为H-inf渐进稳定的，并且gammar是上限。500)this.width=500;"border=0> 算例为：500)this.width=500;"border=0> 我们要实现的就利用LMI进行求解，验证论文结果。 首先我们要用setlmis([])命令初始化一个LMI系统。 接下来，我们就要设定矩阵变量了。采用函数为lmivar 语法：X=lmivar(type,struct)type=1:定义块对角的对称矩阵。每一个对角块或者是全矩阵<任意对称矩阵>，标量<单位矩阵的乘积>，或者是零阵。如

6、果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2)表示第r个块的类型<1--全矩阵，0--标量，-1--零阵）。比如一个矩阵有两个对角块，其中一个是2x2的全对称矩阵，第二个是1x1的一个标量，那么该矩阵变量应该表示为X=lmivar(1,[21;10])。type=2:mxn阶的矩阵，只需要写作struct=[m,n]即可。type=3: 其它类型。针对类型3，X的每一个条目（eachentryofX）被定义

7、为0或者是+(-)xn，此处xn代表了第n个决策变量。那么针对我们的例子，我们如此定义变量：%Qisasymmetricmatrix,hasablocksizeof2andthisblockissymmetricQ=lmivar(1,[21]);%S1asymmericmatrix,size2S1=lmivar(1,[21]);%S2is1by1matrixS2=lmivar(1,[10]);%Typeof2,size1by2M=lmivar(2,[12]);定义完成变量之后，我们就该用lmiterm来描述

8、LMI中的每一个项了。Matlab的官方文档提示我们，如果要描述一个LMI只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会描述成另一个LMI。WhendescribinganLMIwithseveralblocks,remembertospecifyonlythetermsintheblocksonorbelowthediagonal(orequivalently,onlythetermsinblocksonora