线性矩阵不等式的LMI工具箱求解.doc

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1、一、线性矩阵不等式的LMI工具箱求解（一）可行性问题（LMIP）1、可行性问题描述系统状态方程：在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P，使得：成立，其中Q为正定矩阵。那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB的LMI工具箱进行判断。2、仿真所需要用到的命令setlmis([])：开始一个线性矩阵不等式系统的描述；X=lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式

2、的一个项的内容；LMISYS=getlmis：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS；X=dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat函数求解出P矩阵。1、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。得：（一）特征值问题(E

3、VP)1、EVP问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI约束的线性目标函数最小化优化问题。一般采用mincx求解器求解。考虑这样一个优化问题：其中：2、仿真用到的命令DECVARS=mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...)：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt返回全局最优的决策变量,xopt返回决策变量的最优解。相应的矩阵变量的最优解可以用函数dec2mat从xopt得到。evlmi=evallmi(LMIs,xopt)：对给定的决策变量xop

4、t，求取系统的值；[lhs,rhs]=showlmi(evlmi,1)：显示第一个线性矩阵不等式的左边和右边的矩阵值。这个不等式的成立与否可以通过eig(lhs-rhs)来检验。如果返回的结果是负定的，那么表示xopt满足第一个线性矩阵不等式。3、仿真结果下面给出EVP优化问题的分析结果：可以看到，flag为负定，说明Xopt是要求的矩阵不等式的解。（一）广义特征值问题（GEVP）1、问题描述广义特征值问题一般是用来寻找一个最小的λ，使得其满足下面的矩阵不等式组：假设有如下的三个系统：其中，分别为：要求寻找一个单一的lyapunov函数来验证给定的三个系统的稳

5、定性，同时要求衰减率最大化。这样的一个问题等价于如下的优化问题：1、仿真用到的命令[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用于求解广义特征值的线性矩阵不等式问题；1、仿真结果由仿真结果可以看出，得到的alpha=-0.122是给问题的最优值，因此相应的最大衰减率是0.122，最优解如仿真结果中的Popt所示。