LMI工具箱介绍

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1、LMI工具箱介绍线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：ò以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；ò获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；ò修改现有的线性矩阵不等式系统；ò求解三个一般的线性矩阵不等式问题；ò验证结果。本附录将详细介绍LMI工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令

2、。A.1线性矩阵不等式及相关术语一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：L(x)=L+xL+?+xL<0(1)011NN其中：L0,L1,?,LN是给定的对称常数矩阵，x1,?,xN是未知变量，称为决策变量，TNx=[x,?,x]∈R是由决策变量构成的向量，称为决策向量。1N尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：L(X,?,X)

3、的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的Lyapunov矩阵不等式TAX+XA<0(2)也是一个线性矩阵不等式，其中的X是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵⎡−12⎤A=⎢⎥为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不⎣0−2⎦⎡x1x2⎤等式（2），对应的矩阵变量X是一个二阶的对称矩阵，X=⎢⎥，不等式（2）中xx⎣23⎦的决策变量是矩阵X中的独立元x1、x2、x3。根据对策性，矩阵变量X可以写成⎡10⎤⎡01⎤⎡00⎤X=x1⎢⎥+x2⎢⎥+x3⎢⎥⎣00⎦⎣10⎦⎣01⎦将矩阵A和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得⎡−22⎤⎡0−3⎤⎡00⎤x1⎢⎥+x2⎢⎥+

4、x3⎢⎥<0(3)⎣20⎦⎣−34⎦⎣0−4⎦这样就将矩阵不等式（2）写成了线性矩阵不等式的表示式（1）。显然，与Lyapunov矩阵不等式（2）相比，表示式（3）缺少了许多控制中的直观意义。另外，（3）式涉及到的矩阵也比（2）式中的多。如果矩阵A是n阶的，则（3）式中的系数矩阵一般有n(n+)12个。因此，这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些原因，LMI工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如，Lyapunov矩阵不等式（2）就以矩阵变量X的不等式来表示，而不是用其一般形式（3）来表示。一般的，一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式，其中每一个块都是矩阵变量的仿射函

5、数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：⎡TT⎤AX+XAXCBT⎢⎥N⎢CX−γID⎥N<0⎢BTDT−γI⎥⎣⎦Tn×n其中：A、B、C、D、N是给定的矩阵，X=X∈R和γ∈R是问题的变量。òN称为外因子，块矩阵⎡TT⎤AX+XAXCB⎢⎥L(X,γ)=⎢CX−γID⎥⎢BTDT−γI⎥⎣⎦称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。òX和γ是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个1×1维的矩阵。ò内因子L(X,γ)是一个对称块矩阵。根据对称性，L(X,γ)可以由对角线及其上方的块矩阵完全确定。òL(X,γ)中

6、的每一块都是矩阵变量X和γ的仿射函数。这一函数由常数项和变量项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式，例如L(X,γ)中的B和D；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如XA,−γI等。一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个线性矩阵不等式。A.2线性矩阵不等式的确定LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式：TTNL(X,?,X)N

7、矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0