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1、第二章二、习题选讲一、知识点复习第二章机动目录上页下页返回结束习题课一、导数的定义(p56)定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束二、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:机动目录上页下页返回结束三、函数的可导性与连续性的关系(p60)定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,
2、但不可导.即机动目录上页下页返回结束在点的某个右邻域内四、单侧导数(p60)若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,机动目录上页下页返回结束定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且机动目录上页下页返回结束五、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且机动目录上页下页返回结束六、反函数的求导法则定理2.
3、y的某邻域内单调可导,机动目录上页下页返回结束在点x可导,七、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,机动目录上页下页返回结束例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动目录上页下页返回结束若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束八、隐函数求导法则1)对幂指函数可用对数求导法求导:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注
4、意:机动目录上页下页返回结束九、对数法求导2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导机动目录上页下页返回结束十、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束十一、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P65表2.1，P81表2.2)机动目录上页下页返回结束2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导函数仍为初
5、等函数机动目录上页下页返回结束定义.若函数的导函数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导函数为依次类推,分别记作则称十二、高阶导数的概念十三、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束十四、参数方程的高阶导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页
6、返回结束十五、隐函数的高阶导数机动目录上页下页返回结束的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,十六、微分的概念定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束十七、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束十八、微分在近似计算中的应
7、用当很小时,使用原则:得近似等式:机动目录上页下页返回结束十九、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限机动目录上页下页返回结束
