正弦定理的三种证明.doc

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1、△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABCcba证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.(1)在中，如图1-1，因此，有因为，所以CBADabc（2）在锐角△ABC中，如图1-2作于点，有，，因此，，即同理可证：，故.（3）在钝角△ABC中，如图1-3作，交的延长线于点，则ABCDabc，因此，，即同理可证：故综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.ABCOD证明：如图所示，圆是△ABC的外接圆，半径为连接并延长，交圆于点，连接，易知，

2、，，即因此同理，延长，可证故证明：过点作单位向量，那么就有ACBbca，同理有。故【小技巧】根据几何图形确定向量夹角的方法：如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么（1）向量夹角为锐角，很容易判断；（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角例如：确定向量与向量的夹角时，由于是钝角，先确定向量与向量的夹角为，再求补角，即为确定向量与向量的夹角时，先平移，同上可得，夹角为