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1、正弦定理的证明解读克拉玛依市高级中学曾艳一、正弦定理的几种证明方法abDABC1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。由此，得，同理可得，故有.从而这个结论在锐角三角形中成立.ABCDba（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，。由此，得，同理可得故有.由(1)(2)可知，在ABC中，成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.1’用知识的最近生长点来证明：实际应
2、用问题中，我们常遇到问题：已知点A，点B之间的距｜AB
3、，可测量角A与角B，需要定位点C，即：在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求边AC的长b解：过C作CD^AB交AB于D，则推论：同理可证：2.利用三角形面积证明正弦定理DCBA已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可证S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3
4、.向量法证明正弦定理(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.BC∴
5、j
6、Cos90°+
7、j
8、Cos(90°-C)=
9、j
10、Cos(90°-A).j∴asinC=csinA.∴.A另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止
11、误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)∴.CA(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,jAB即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得.∴4.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延
12、长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式.二、剖析四种证明方法的本质联系虽然正弦定理的有四种证明方法（也可以看成5种，对于第一种证明方法也可以用向量的形式来表示，可以看成向量、向量在向量方向上的投影相等），虽然每种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度去证明了正弦定理，但是仔细观察会发现有一条纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说
13、每一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的，这条纽带就是：直角三角形思想。正弦定理的四种证明方法（在正弦定理的第一种证明方法中，用到的就是最基本的通过三角形作高把斜三角形转化为直角三角形。第二面积法，三角形的面积等于低乘高，也是把一般的三角形问题转化为垂直关系来研究。第三种向量法用到的也是向量的垂直关系。第四种外接圆法也借助了直径所对的圆周角等于这个特殊的直角三角形）都是利用了直角三角形；余弦定理的平面几何证明方法，也是利用三角形做高转化成直角三角形来证明；在没学正余弦定理之前，学生直接利用初中的知识来解斜三角形，也是
14、转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以，我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是：直角三角形。其实，研究正余弦定理就是为了解斜三角形，在没有正余弦定理之前，我们只能够解直角三角形。而正弦定理的发现也是借助于直角三角形，通过直角三角形边角的关系发现了正弦定理。而我们要证明正弦定理必须得借助已经学过的知识，而在没有学习正余弦定理之前，我们仅能解得就是直角三角形，所以正弦定理的各种证明方法都是通过建立构造和解直角三角形的基础之上，所以正弦定理的各种证明方法都会或多或少的借助“垂直”
15、的关系。三、我对正弦定理证明的一点想法1、对于正弦定理的四种证明方法，我认为作高法和面积法是学生比较容易接受的方法，因为正弦定理的发现也好，或是初中同学们对三角形的认识也好，对于一般三角形问题通过作高转化成直角三角形问题是大家都很熟悉的，所以接受起来特别的容易，所以用作高来证明正弦定理是最容易被学生接受和掌握的方法。而有了作高证明
