向量证明正弦定理.doc

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1、向量证明正弦定理　　表述：设三面角∠PABC的三个面角∠BPC∠CPA∠APB所对的二面角依次为∠PA∠PB∠PC则Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB　　目录　　1证明2全向量证明　　证明　　过A做OA⊥平面BPC于O过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N连结AM、AN显然∠PB=∠AMOSin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANOSin∠PC=AO/AN另外Sin∠CPA=AN/APSin∠APB=AM/AP则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB同理可证Sin∠PA/Sin∠BP

2、C=Sin∠PB/Sin∠CPA即可得证三面角正弦定理　　全向量证明　　如图1△ABC为锐角三角形过点A作单位向量j垂直于向量AC则j与向量AB的夹角为90°Aj与向量CB的夹角为90°C　　由图1AC+CB=AB(向量符号打不出)　　在向量等式两边同乘向量j,得·　　j·AC+CB=j·AB　　∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°C)　　=│j││AB│cos(90°A)　　∴asinC=csinA　　∴a/sinA=c/sinC　　同理过点C作与向量CB垂直的单位向量j可得　　c/sinC=b/sinB　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC　　2步骤

3、1　　记向量i使i垂直于AC于C△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c　　∴a+b+c=0　　则i(a+b+c)　　=i·a+i·b+i·c　　=a·cos(180(C90))+b·0+c·cos(90A)　　=asinC+csinA=0　　接着得到正弦定理　　其他　　步骤2.　　在锐角△ABC中设BC=a,AC=b,AB=c作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到a/sinA=b/sinB　　同理在△ABC中　　b/sinB=c/sinC　　步骤3.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　任

4、意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式　　3　　用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB　　=>absinC=bcsinA(这部可以直接出来哈哈不过为了符合向量的做法)　　=>a/sinA=c/sinC　　xx71817:16jinren92

5、三级　　记向量i使i垂直于AC于C△ABC三边AB,BC,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中证明a/sinA=b/sinB

6、=c/sinC=2R：任意三角形ABC,　　4　　过三角形ABC的顶点A作BC边上的高垂足为D.(1)当D落在边BC上时向量AB与向量AD的夹角为90°B向量AC与向量AD的夹角为90°C由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等有数量积的几何意义可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的绝对值*向量AD的绝对值*COS(90°B)=向量的AC绝对值*向量AD的绝对值*cos(90°C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)当D落在BC的延长线上时同样可以证得