正弦定理证明范文

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1、正弦定理证明范文　　1.三角形的正弦定理证明：　　步骤1.　　在锐角△ABC中设三边为abc作CH⊥AB垂足为点H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到　　a/sinA=b/sinB　　同理在△ABC中　　b/sinB=c/sinC　　步骤2.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如图任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.　　连接DA.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于

2、∠C.　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R　　类似可证其余两个等式　　2.三角形的余弦定理证明：　　平面几何证法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c∠B所对的边为b∠A所对的边为a　　则有BD=cosB*cAD=sinB*cDC=BCBD=acosB*c　　根据勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(acosB*c)^2　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^22ac*cosB　　b

3、^2=(sin^2B+cos^2B)*c^22ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^22ac*cosB　　cosB=(c^2+a^2b^2)/2ac　　3　　在△ABC中AB=c、BC=a、CA=b　　则c^2=a^2+b^22ab*cosC　　a^2=b^2+c^22bc*cosA　　b^2=a^2+c^22ac*cosB　　下面在锐角△中证明第一个等式在钝角△中证明以此类推　　过A作AD⊥BC于D则BD+CD=a　　由勾股定理得：　　c^2=(AD)^2+(BD)^2(AD)^2=b^2(CD)^2　　所以c

4、^2=(AD)^2(CD)^2+b^2　　=(aCD)^2(CD)^2+b^2　　=a^22a*CD+(CD)^2(CD)^2+b^2　　=a^2+b^22a*CD　　因为cosC=CD/b　　所以CD=b*cosC　　所以c^2=a^2+b^22ab*cosC　　题目中^2表示平方　　2　　谈正、余弦定理的多种证法　　聊城二中魏清泉　　正、余弦定理是解三角形强有力的工具关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一

5、向量的数量积这种构思方法过于独特不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.　　定理：在△ABC中AB=c,AC=b,BC=a,则　　(1)(正弦定理)==;　　(2)(余弦定理)　　c2=a2+b22abcosC,　　b2=a2+c22accosB,　　a2=b2+c22bccosA.　　一、正弦定理的证明　　证法一：如图1设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高则有　　AD=bsin∠BCA　　BE=csin∠CAB　　

6、CF=asin∠ABC　　所以S△ABC=abcsin∠BCA　　=bcsin∠CAB　　=casin∠ABC.　　证法二：如图1设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高则有　　AD=bsin∠BCA=csin∠ABC　　BE=asin∠BCA=csin∠CAB　　证法三：如图2设CD=2r是△ABC的外接圆　　的直径则∠DAC=90°∠ABC=∠ADC　　证法四：如图3设单位向量j与向量AC垂直　　因为AB=AC+CB　　所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.　　因为jAC=0　　jCB=

7、j

8、

9、CB

10、cos(

11、90°∠C)=asinC　　jAB=

12、j

13、

14、AB

15、cos(90°∠A)=csinA.　　二、余弦定理的证明　　法一：在△ABC中已知求c　　过A作　　在Rt中　　法二：　　即：　　法三：　　先证明如下等式：　　⑴　　证明：　　故⑴式成立再由正弦定理变形得　　结合⑴、有　　即.　　同理可证　　.　　三、正余弦定理的统一证明　　法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系则A=(00)、B=(c,0)又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′则∠BAC′=π∠B　　∴C′(

16、acos(πB),asin(πB))=C′(acosB,asinB).　　根据向量的运算：　　=(acosB,asinB)　　==(bcosAc,bsinA),　　(1)由=：得　　asinB=bsinA,即　　=.　　同理可得：=.　　∴==.　　(2)由=(bcosAc)2+(bsinA)2=b2+c22bcco