实变函数论西南辅导课一至九ppt课件.ppt

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1、实变函数主讲教师：吴行平辅导课程一第一章集合本章主要介绍集合的基本概念，运算及其运算性质。通过本章的学习，要掌握集合的基本概念及运算规律，掌握可数集的基本概念及其性质，理解集合对等的概念，了解基数的概念，同时我们要知道一些常用的可数集与不可数集。第一节集合一、概念二、表示法三、简单术语一、概念集合：在一定范围内的个体事物的全体，当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。注意：1集合的对象是确定的。2集合的元素是互异的.3任一对象或事物x被当作某一给定集合A的元素时,x或者是A的元,或者不是A的元,二者必居其一,而且只居其一.例1

2、：1，2，3，5，8五个自然数构成一个集合。例2：全体自然数构成一个集合。例3：全体大个子不构成一个集合。二、表示法1、列举法：2、描述法：三、一些简单术语如果A的元均为B的元如果A与B有完全相同的元结论:对任何集合有(1)(2)则(3)注意定理中的结论（2）是证明两个集合相等的重要方法，以后我们经常用到。则第二节集合的运算一、概念1并集2交集3差集4上限集与下限集二、运算规律1并集（1）设A,B是两个集。由A中的元以及B中的元的全体所成的集称为A,B两者的并，记成例1（2）设=例2设是一组集，这里I是指标集，在I中取值，那么它们的并定义为2交集例1A（1）设A,B是

3、两个集，由同时属于A与B两者的那些元所成的集称为A与B的交，记成（2）设，例2在I中取值，那么它们的交定义为是一组集，这里I是指标集3差集设A,B是两个集，由属于A而不属于B的那些元所成的集称为A与B的差，记成A-B.当B例1AA时，差集A-B又称为B关于A的补集，记成4上限集与下限集（1）上限集设=易知：＝＝，可它表示为是任意一列集.由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限记为实变函数主讲教师：吴行平辅导课程二4上限集与下限集（1）上限集设是任意一列集.由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或

4、上极限记为　，可它表示为=易知：＝＝（2）下限集设是任意一列集，对于集列那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限，记为，可它表示为=＝＝（３）极限集如果＝，则称集列　　收敛，并将这一集称为　　的极限，记为易知：如果　　为单调增加（减少）集列，　　　即　　　（　　　），则　　收敛，且有=　　（　　　=　　）。二运算规律定理１（参见书上第５页定理１）（交换律）（结合律）（分配律）定理2对于基本集X中的并集与交集的余集运算，有（1）=（2）=证设，则不属于任何，故属于每个C,因此，可见，同理可证，右边是左边的子集．故得（1）由（1

5、）取余集得C(　　　)=C(　　　)即　　　=C(　　　）再将　　换成C　　,即得（2）。所证定理常称为笛摩根法则。它提供一种对偶方法，能将已证明的关于集的性质转移到它们的余集上去。定理３对于集E与任意一组集　，　　，恒有分配律E　（　　）＝证任取E　（　　），则　　且　　　　，于是知　　且属于某个　　，对于这个　，有　　　　，从而更有　　　　　，这就证明了E　（　　）反之，设　　　　，则属于某个　　，从而　　且　　　（对于这个　），故更有　　　且　　，这就证明了E　（　　）由所得两步结果便证明了定理中的等式。第三节对等与基数一对等定义1设A,B是两个非空集，若依一定

6、的法则f,对每个xA,在B中有唯一确定的元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值的映射，记成，并将x与y的关系写成。我们称A为f的定义域，为f的值域。设给定映射，而，称f为到上的映射；如果对每个，仅有唯一的使，称f为1-1的设给定两映射，，称映射由关系式()定义。定义2设A,B为两个非空集，如有1-1的，到上的存在，使，则称A与B对等，记成B～例1自然数全体与正偶数全体对等。证明令即可例2全体正奇数与全体正偶数对等证明令即可例3（0，1）与全体实数对等证明令即可注意例1表明一个无限集可以和它的一个真子集对等，这正是无限集的本质特性。定理1对任何集合A、B、C，均有

7、（1）（反射性）A～A（2）（对称性）若A～B，则B～A（3）（传递性）若A～B,B～C,则A～C由此可知，当两个有限集互相对等时，它们的元素个素必相同。因此，我们可以用对等的概念对两个无限集的元的个数进行比较二基数根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用表示集合A的基数定义3设A、B是两个集合，如果A不和B对等，但存在B的真子集，有A,则称A比B有较小的基数（B比A有较大的基数）并记为～定理2（Bernstein定理）设A、B是两个非空集合，如果存在使AT,BS