实变函数论课件10.ppt

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1、第10讲开集的可测性目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点：第10讲开集的可测性基本内容：一．Borel集问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所熟悉的哪些集合是可测的？第10讲开集的可测性问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？第10讲开集的可测性（1）开集与闭集的可测性命题1Rn中任意开长方体都是可测的，且。证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有，所以只需证明I是

2、可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有第10讲开集的可测性注意到仍是个长方体，故不难得知（这与证明类似）因此从而I可测。证毕。第10讲开集的可测性定义1Rn中的集合称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即第10讲开集的可测性引理1Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即是左开右闭长方体。证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如mi

3、是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为第10讲开集的可测性（有限或可数个）。对于k>1，用表示上述那些完全被G包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交，并满足。如果，则存在，使注意到故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在中，从而也包含在G，所以一定在某个中，即第10讲开集的可测性于是，（2）Gδ型集、Fб型集、Borel集定理1Rn中的任意开集、闭集、F型集、G型集均为可测集。证明：由命题1知任一左

4、开右闭长方体J可测且mJ=

5、J

6、，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F型集、G型集均可测。证毕。第十讲开集的可测性注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。第十讲开集的可

7、测性二．Borel集类与Lebesgue集类的比较问题3：根据Lebesgue外测度及可测集的定义，你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大？第十讲开集的可测性问题4：对任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它们有相同的外测度？问题5：对上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它们具有相同的外测度？如果E是可测集，情形又如何？第十讲开集的可测性Lebesgue可测集的结构Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章

8、第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未第十讲开集的可测性必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此

9、立知，Lebesgue可测集全体第十讲开集的可测性远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集。现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设，则对任意，存在可数个开长方体，使第十讲开集的可测性且由此易知事实上,由于故由及第十讲开集的可测性易得记则Gn是开集，从而是G型集，而且，由立知是Borel集与一个Lebesgue零测集之差。类似的办法可以证明，能找到Bor

10、el集，使，即E也第十讲开集的可测性是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度。因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。第十讲开集的可测性问题6：问题4中能否使G-E的外测度为零？为什么？举例说明。第十讲开集的可测性即使不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。