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时间:2020-03-03
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1、第10讲开集的可测性目的:熟悉一些常见的可测集,了解Borel集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点:第10讲开集的可测性基本内容:一.Borel集问题1:按Lebesgue可测集的定义,我们所熟悉的哪些集合是可测的?第10讲开集的可测性问题2:由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集,还能构造出哪些可测集?所有这些可测集构成什么样的集类?第10讲开集的可测性(1)开集与闭集的可测性命题1Rn中任意开长方体都是可测的,且。证明:我们在前一节已经证明对任意开长方体I,有,所以只需证明I是
2、可测的就行了,又由关于可测集定义的讨论,我们只要证明对任意开长方体J,有第10讲开集的可测性注意到仍是个长方体,故不难得知(这与证明类似)因此从而I可测。证毕。第10讲开集的可测性定义1Rn中的集合称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同,Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并,但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并,即第10讲开集的可测性引理1Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并,即是左开右闭长方体。证明:对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如mi
3、是正整数)的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为第10讲开集的可测性(有限或可数个)。对于k>1,用表示上述那些完全被G包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交,并满足。如果,则存在,使注意到故当k充分大时,含x的形如Bk的长方体一定完全包含在中,从而也包含在G,所以一定在某个中,即第10讲开集的可测性于是,(2)Gδ型集、Fб型集、Borel集定理1Rn中的任意开集、闭集、F型集、G型集均为可测集。证明:由命题1知任一左
4、开右闭长方体J可测且mJ=
5、J
6、,从而由引理1知任意开集可测,进一步闭集、F型集、G型集均可测。证毕。第十讲开集的可测性注:从定理1可知,可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上,由开集经过可数次的交、并、差运算后,所得的集合仍然是可测集。于是,由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B(Rn)或B,称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为:Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。第十讲开集的可
7、测性二.Borel集类与Lebesgue集类的比较问题3:根据Lebesgue外测度及可测集的定义,你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大?第十讲开集的可测性问题4:对任意集合E,能否找到包含E的Borel集G,使得它们有相同的外测度?问题5:对上述E,能否找到包含在E中的Borel集F,使得它们具有相同的外测度?如果E是可测集,情形又如何?第十讲开集的可测性Lebesgue可测集的结构Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合,然而,的确仍有不少集合不是Borel集,如本章
8、第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么,是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢?有的,而且很多,我们已经看到,如果一个集合的外测度为0,则它一定可测,但是外测度为0的集合却未第十讲开集的可测性必是Borel集,要证明这件事并不困难,比如,可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上,Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势,只需证明其势不小于2c就可以了,我们已经知道Cantor集是一个零测集,且有势c,因而它的一切子集也是零测集,且其子集全体有势2c。由此
9、立知,Lebesgue可测集全体第十讲开集的可测性远比Borel集全体的势力,上面的证明同时告诉我们,Cantor的一切子集中,确有很多不是Borel集,但它们都是Lebesgue可测集。现在我们来看看,Lebesgue可测集与Borel集差别有多少,假设E是一个可测集,且不妨设,则对任意,存在可数个开长方体,使第十讲开集的可测性且由此易知事实上,由于故由及第十讲开集的可测性易得记则Gn是开集,从而是G型集,而且,由立知是Borel集与一个Lebesgue零测集之差。类似的办法可以证明,能找到Bor
10、el集,使,即E也第十讲开集的可测性是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之,对任一Lebesgue可测集E,都可以找到包含于其中的Borel集,使它们有相同的测度,也可以找到包含E的Borel集,使它们也有相同的测度。因此,Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。第十讲开集的可测性问题6:问题4中能否使G-E的外测度为零?为什么?举例说明。第十讲开集的可测性即使不是可测集,我们也可以找到Borel集,使它们有相同的外测度。
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