实变函数论课件.ppt

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1、第17讲Lebesgue积分的性质目的：掌握一般可测函数积分的定义，熟悉它与广义Riemann积分的异同，掌握并能证明一般可测函数积分的性质。重点与难点：一般可测函数的积分与广义Riemann积分的异同，可测函数积分的性质。第17讲Lebesgue积分的性质基本内容：一．有界可测函数积分的性质（续）问题1：如果f(x)是区间[a,b]上的非负Riemann可积函数，且∫abf(x)dx=0,则f(x)=0。如果将区间换成有限测度集，非负Riemann可积函数换成非负可测函数，结果如何？第17讲Lebesgue积分的性质问题2

2、：如何用集合表示f(x)≠0的那些点？问题`3：问题1中，有没有可能f(x)≠0？第17讲Lebesgue积分的定义与性质定理3设f是E上的有界可测函数,若且则证明：任取正数，则由积分的可加性，得第17讲Lebesgue积分的定义与性质由于故，又由积分的单调性得于是，然而由假设，所以，第17讲Lebesgue积分的定义与性质特别地，对任意进而证毕。第17讲Lebesgue积分的性质二．一般可测函数的积分问题4：如果E是有限测度集，f(x)是E上的非负可测函数（可能无界），如何将有界可测函数的积分推广到这种情形？第17讲Le

3、besgue积分的性质（1）有限测度集上非负可测函数积分的定义问题5：如果E是有限测度集，f(x)是E上的可测函数（可能无界，也未必非负），如何将有界可测函数的积分推广到这种情形？第17讲Lebesgue积分的性质与广义Riemann积分类似，Lebesgue积分也分无界可测函数以及定义域为无限测度集等情形。但其定义与广义Riemann积分有所不同。定义2设是E上的非负可测函数，对每一正数m，令第17讲Lebesgue积分的性质则是E上的非负有界可测函数，由定理1知每个在E上可积，由于是单调数列，故总是存在的（允许等于+）

4、，记，称为在E上的积分，若，则第17讲Lebesgue积分的性质称为E上的Lebesgue可积函数。(2)有限测度集上一般可测函数积分的定义问题6：如果mE=∞,如何定义E上非负可测函数的积分？第17讲Lebesgue积分的性质定义3设是E上的可测函数，若在E上的积分至少有一个不为+，则称在E上有积分，并记若为有限数，则称在E上Lebesgue可积。第17讲Lebesgue积分的性质容易看到，若是E上有界可测函数，则与前面定义的积分是一致的，特别应该注意的是，称在E上Lebesgue可积当且仅当其正部及负部都可积，因此，显

5、然有在E上Lebesgue可积当且仅当在E上Lebesgue可积。这与第17讲Lebesgue积分的性质Riemann积分大不相同，例如，若则不难证明，是[0，1]上的广义Riemann可积函数，然而不是广义Riemann可积的。第17讲Lebesgue积分的性质（3）无限测度集上非负可测函数的积分定义问题7：如果mE=∞,如何定义E上一般可测函数的积分第17讲Lebesgue积分的性质定义4设是E上的非负可测函数，对任意正整数m，令，其中，显然在每个Em上有积分（积分值可能为+），记,显然Jm是单调递增的，故极限总是存在

6、的。定义在E上的积分为第17讲Lebesgue积分的性质若为有限数，则称在E上Lebesgue可积。(4)无限测度集上一般可测函数积分的定义定义5设是E上的可测函数，对任意正整数m，同定义4，记第17讲Lebesgue积分的性质若与至少有一个不为+，则称在E上有积分并记若均为有限数，则称在E上Lebesgue可积。第17讲Lebesgue积分的性质三．可积函数积分的性质问题8：对Riemann积分而言，f与

7、f

8、的可积性是否相同？对Lebesgue积分而言，情形又如何？f与

9、f

10、的可积性第17讲Lebesgue积分的性质可

11、以证明：对E上任一非负可测函数f，有所以定义5中的积分也可以定义为第17讲Lebesgue积分的性质从定义5不难看到，可积性与的可积相同，即有定理4设是可测集E上的可测函数，则在E上Lebesgue可积当且仅当在E上Lebesgue可积。第17讲Lebesgue积分的性质问题9：有限测度集上有界可测函数的积分性质能否推广到一般可测函数的积分情形（包括有限测度集上的可测函数与无限测度集上的可测函数）？第17讲Lebesgue积分的性质定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也同样是正确的。其证明需实施一下极限手续。*定理5如

12、果E是可测集，则(i)当在E上可测，在E上非负可积，时，也在E上可积，且第17讲Lebesgue积分的性质证明因为，故当时，有第17讲Lebesgue积分的性质其中是任意正整数，于是由积分定义立知可积，且。(ii)当是E的互不相交的可测子集，在E上有积分时，在每一Ei上有积分，且第17讲L