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时间:2020-03-11
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1、第27讲Lp-空间简介本讲目的:掌握Lp-空间的定义及其重要意义,重点与难点:Newton-Leibniz公式的证明。第27讲Lp-空间简介人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时,常常会碰到这样的问题:尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数(可微或连续函数),但当施行极限手续以求出准确解时却发现,迭代序列的极限不在原来所限定的范围内,这促使人们将函数的范围拓宽,空间理论正是在此基础上产生的。1907年,F.Riesz与Frechet首先定义了[0,1]上的平方可积函数空间,即第27讲Lp-空间简介随后,人们又进
2、一步考察p-方可积函数,得到空间,考虑这些空间的一个基本思想是,不再是将每一个函数当作一个孤立对象看,而是作为某一类集合中的一个元素,将这个函数集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现在则要将这些树木放在起构成一片森林。第27讲Lp-空间简介一.—空间的定义我们知道,Rn中有线性运算,有距离公式,对于两个函数,可以定义它们的线性运算,但它们之间所谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先,所定义的距离必须有意义,例如,对于中的两个函数,可以用定义它们的距离,但如果用
3、它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的。其次,所定义的距离,必须满足距离的一些最基本的性质。这些性质是什么呢?我们可以通过中的距离归纳出来,即下面的第27讲Lp-空间简介定义1设是一个集合。的函数。满足:(i)对任意(ii)对任意(iii)对任意(三角不等式)。则称是A上的距离是E上的Lebesgue可测函数,设且。第27讲Lp-空间简介对任意,显然仍是E上的可测函数,由于对任意实数,有所以第27讲Lp-空间简介因此不难看出。从的定义,启发我们以下面的方式定义上的距离:由上面的讨论,显见对
4、任意,有第27讲Lp-空间简介即上非负的有限函数。它是不是上的距离呢?为此,设,则得,于是,进而由此立得另一方面,若第27讲Lp-空间简介则,从而。上述分析说明,并不是上的距离,但使的函数必有几乎处处相等的,反之亦然。因此,我们可以将中几乎处处相等的函数放在一起,从而构成新的集合:当且仅当第27讲Lp-空间简介对任意,定义不难看到,对任意,,恒有故上面的定义是无歧义的,此外,若,则显然有。这样,作为上的函数的确满足距离定义中的(i),至于(ii)则是显而易见的,所以只需验证它是否满足(iii)。第27讲Lp-
5、空间简介为方便起见,以后也用记,只要说则指的就是与几乎处处相等的函数类,若说则指的就是单一的函数。二。几个重要的不等式引理1设是正数,,,则等式成立当且仅当,或中有一个为0。第27讲Lp-空间简介证明:不妨设(情形可类似证明),由引理的条件知,于是要证的不等式可写成即记,则对任意,存在,使,因,所以,从而,第27讲Lp-空间简介即。令,立得从证明过程可以看出,等号成立当且仅当或或0,证毕。定理1(霍尔德(Holder)不等式)设,(满足条件的称作共轭数),,,则第27讲Lp-空间简介且。(1)等式成立当且仅当
6、与相差一个常数因子。证明:若中有一个为0,则(1)式显然成立(事实上,此时(1)式两边都为0),故不妨设均不为0。于是都不为0,第27讲Lp-空间简介记则由引理1,当,都不为0时,有即第27讲Lp-空间简介且等号只有在即与只差一个常数因子时才成立,不等式两边作积分得,此即所要的不等式,证毕。定理2(Minkowski不等式)第27讲Lp-空间简介设,,则(2)若,则等号只在与相差一个非负常数因子时成立。证明:当时,不等式显然成立,若,则不等式也是显然的,故不妨第27讲Lp-空间简介设,且,注意到时,,故其中是
7、的共轭数,即,于是由Holder不等式得(3)第27讲Lp-空间简介类似地,也有(4)将两个不等式相加得第27讲Lp-空间简介两边同除以立得所要的不等式。要使(2)式中的等号成立,必须且只需(3)、(4)及(5)的第一个不等式成为等式,而使(3)、(4)成为等式的充要第27讲Lp-空间简介条件是,与都只差一常数因子.由于假设了从而,所以与只差一常数因子,即存在常数c,使进而。要使(5)中第一个不等式成为等式,必须有第27讲Lp-空间简介这意味着与的符号在E上几乎处处相同,从而由得所以,证毕。由定理2不难看到上
8、的函数满足三角不等式,即对任意,第27讲Lp-空间简介有。事实上,。综上立知是上的距离对,定义第27讲Lp-空间简介则由距离的定义立得(i),当且仅当。(ii)对任意,。(iii)称满足(i)、(ii)、(iii)的“函数”为上的范数,称为的范数,它是中向量的“模”或“长度”概念的自然推广。
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