高职高等数学教案第五章定积分及其应用.doc

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1、第五章定积分及其应用§5-1定积分概念与性质一、两个引例1．曲边梯形的面积曲边梯形定义：由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积方法：（1）分割任取分点，把区间分成个子区间，子区间长度为。（2）近似在子区间上任取一点，则小曲边梯形面积可近似表示为。（3）求和将个小曲边梯形近似面积相加，则曲边梯形面积的近似为。（4）极限当时，令，则。2．变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度，求这段时间内物体所经过的路程S。求路程方法：（1）分割任取分点，把区间分成个子区间，子区间长度为。（2）近似在

2、子区间中可看做匀速直线运动，则在其上任取一点，则在子区间中路程可表示为。（3）求和将个子区间路程相加，则总路程可近似为。（4）极限当时，令，则。二、定积分定义1.定义：设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点将区间分成子小区间，各子区间的长度为，在每个子区间上任取一个点，作的和式，令当时上式极限存在，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作其中为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分下限，为积分上限。说明：（1）由定积分的定义可知：曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为（2）定积分的值只与被积函

3、数及积分区间有关，与区间分法和任取函数值无关，与积分变量的字母选择无关，即（3）当时，（4）2.定理定理1：设在区间上连续，则在上可积。定理2：设在区间上有界，且只存在有限个第一类间断点，则在上可积。3.几何意义若，则；若，则若在区间上有正有负，则积分值等于在轴上方部分与下方部分面积差。例：利用定义计算定积分解：几何上此定积分表示半径为1的圆第一象限的面积因此三、定积分的性质性质1：性质2：性质3：注：不论在内或外等式均成立性质4：如果在区间上，则性质5：如果在区间上，则性质6：若函数在区间上的最大

4、值及最小值，则性质7(定积分中值定理)：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使得性质8：§5-2微积分基本公式一、积分上限函数及其导数定义：设函数在区间上连续，且设为上的一点，则函数在子区间上的定积分存在，为了方便起见，将积分变量改写为，则定积分为，记作，即，称为积分上限函数。定理：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上有导数说明：是函数在上的一个原函数例1：求的导数解：例2：求的导数解：例3：求解：例4：求的导数解：二、牛顿莱布尼茨公式定理：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，

5、则有此公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。说明：为方便起见，也可记为。证明：已知函数是连续函数的一个原函数积分上限函数也是的一个原函数则，则所以，即例1：求解：例2：求解：例3：求解：例4：求解：例5：，求解：例6：求解：例7：求解：例8：求在上与轴所围成图形的面积解：§5-3定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理：如果函数在区间上连续，函数满足(1)在上有连续导数，且值域不越出(2)则有注：换元必换限，换元后不必还原。例1：求解：令例2：求解：令例3：求解：令注：例3也

6、可以利用定积分的几何意义求解，此定积分表示半径为a的圆在第一象限的面积。例4：求解：注：换元必换限，凑微分不换限。定理：如果在上连续（1）若函数为偶函数，则（2）若函数为奇函数，则注：利用此定理，可简化奇偶函数在对称区间上的积分，如二、分部积分法定理：设函数在区间上有连续导数，由导数公式可得，移项可得，凑微分可得公式此公式为定积分分部积分公式。例1：求解：例2：求解：例3：求解：令，则，例4：求解：则，即其中，综上：注：令，则§5-4反常积分定义：设函数在区间上连续，取，极限称为函数在无穷区间上的反

7、常积分，记为。若极限存在，则反常积分收敛；若极限不存在，则反常积分发散。类似，函数在区间上的反常积分为函数在区间上的反常积分为例1：求反常积分解：例2：求反常积分解：§5-5定积分的应用一、定积分微元法求曲边梯形面积：用任意一组分点把区间分成长度为的各小区间，曲边梯形的被分成个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积为，总面积为，给以极限可得。定积分微元法：一般地，若某一实际问题中所求量满足：1.是与一个变量有关的量2.对于有可加性3.的近似可用表示则可用定积分来表示，步骤为：1.选取一个变量为积分变量，并

8、确定变化区间2.把分为个小区间，3.二、直角坐标系下平面图形的面积方法：1.由及轴所围成图形的面积为2.由及所围成图形的面积为3.由及所围成图形的面积为例1：求由所围成图形的面积解：图略可得交点为则例2：求由所围成图形的面积解：图略可得交点为二、立体体积1．旋转体的体积定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。此直线称为旋转轴。旋转体都可以看作是由及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体。方法：过区间内某点且垂直于x轴的平面左右平移体积微元