微积分(上册)第四章ppt课件.ppt

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1、微积分（上册）第四章微分中值定理和导数的应用微分中值定理第一节洛必达法则第二节泰勒公式第三节函数的单调性的判定法第四节函数的极值与最值第五节第四章微分中值定理和导数的应用曲线的凹凸性与拐点第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节导数在经济中的应用第九节微分中值定理第一节第一节微分中值定理微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的基础.微分中值定理包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位.一、罗尔定理如图4-

2、1所示，函数y=f(x)(x∈［a，b］)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线.如果用数学语言把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔中值定理(简称罗尔定理).图4-1一、罗尔定理定理1(1)在闭区间［a，b］上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)在闭区间［a，b］端点的函数值相等，即f(a)=f(b)；那么在(a，b)内至少有一点ξ［ξ∈(a，b)］，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即

3、f′(ξ)=0.值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.一、罗尔定理例如,函数f(x)=

4、x

5、，x∈［-1，1］,函数在点x=0处不可导,不满足定理中可导的条件,如图4-2所示,显然,曲线没有水平切线.图4-2一、罗尔定理又如函数g(x)=x，x∈［0，2］,因为g(0)=0，g(2)=

6、2,如图4-3所示,两个端点处函数值不相等,显然,曲线也没有水平切线.由于罗尔定理的结论相当于确定方程f′(x)=0在(a，b)内有根，故常常利用罗尔定理来证明方程的根的存在性.图4-3一、罗尔定理【例1】一、罗尔定理罗尔定理表明，若连接曲线两端的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线也是水平的.如果将曲线转一个角度，这时弦与切线的水平性虽被破坏了，但它们相互平行的性质仍保持，进而得到下面的定理.二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，由于f(a)=f(b)，使得弦AB平行于x轴，因此点C处的切线实际

7、上平行于弦AB(见图4-4).现在如果取消f(a)=f(b)这个条件，那么弦AB不平行于x轴，此时，曲线弧AB上是否存在一个点C，使曲线在C处的切线平行于弦AB呢？以下介绍的拉格朗日中值定理回答了这个问题.图4-4二、拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)若函数y=f(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上连续.(2)在开区间(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得(4-1)或(4-2)二、拉格朗日中值定理由图4-4可见，为弦AB的斜率，而f′(ξ)为曲线在点C处切线的斜率

8、.拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的情况下，曲线y=f(x)上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB.由图4-4亦可看出，罗尔定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)时的特殊情形.通过这种特殊关系，还可进一步联想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.事实上，因为弦AB方程为二、拉格朗日中值定理而曲线y=f(x)与弦AB在区间端点a,b处相交，故若用曲线方程y=f(x)与弦AB方程的差做成一个新函数，则这个新函数在端点a,b处的函数值相等.由此即可证明拉格朗日中值定理.二、拉格朗日

9、中值定理证构造辅助函数容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，即由此得即二、拉格朗日中值定理式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端f(b)－f(a)b－a表示函数在闭区间［a,b］上整体变化的平均变化率，右端f′(ξ)表示开区间(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率.于是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在［a,b］上的整体平均变化率与在(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率的关系.若从力学角度看，式(4-2)表示整体上

10、的平均速度等于某一内点处的瞬时速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日中值公式对于b