高考数学总复习第七讲：三角函数.pdf

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1、高考数学总复习第七讲：三角函数一、三角函数的图象和性质一、教学目的：1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。2．会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(ωx+φ)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、

2、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象。二、基本三角函数的图象y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR{x

3、x≠kπ，{x

4、xk，xR}2x∈R}值域[-1，1][-1，1]RR周期性最小正周期2π最小正周期2π最小正周期π最小正周期π单调区间增区间增区间增区间减区间k∈z[2kπ-π，2kπ]（kπ，kπ+[2k，2k](k，k)22减区间22π）减区间[2kπ，2kπ+π]3[2k，2k]22最值点最大值点最大值点无无k∈z（2kπ，1）(2k,1)2最小值点第1页共22

5、页最小值点（2kπ+π，-1）(2k,1)2对称中心（kπ，0）kk(k,0)(,0)(,0)k∈z222对称轴x=kπ无无xkk∈z2三、（一）性质——单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论）(,)例1．用定义证明：f(x)=tgx在22递增。例2．比较下列各组三角函数的值的大小（1）sin194°和cos160°；4374ctg()ctg()（2）15和1933sin(sin)sin(cos)（3）8和8；（4）tg1，tg2和tg3；（1）>（2）<（3）>（4）tg2

6、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。例3．求下列各函数的单调区间xy2cos()（1）23；y1sin2x3cos2x（2）（减区间）2（3）ysinxsinx；xylog1cos()34（4）（增区间）（1）4kπ-2π/3≤x≤4kπ+4π/3（增）；4kπ+4π/3≤x≤4kπ+10π/3（减），k∈z5[k，k]，kz（2）1212（3）[2kπ-π/2，2kπ+π/6]与[2kπ+π/2，2kπ+5π/6]（增）；（4）6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4[2kπ-π/6，2kπ

7、+π/2]与[2kπ+5π/6，2kπ+3π/2]（减）；k∈z例4．有以下三个命题；（1）因为sin(0+π)=sinπ=0，sin(π+π)=sinπ=0，sin(2π+π)=sinπ=0，所以π是y=sinx的周期；第2页共22页（2）因为sin3x=sin(3x+2π)，所以y=sin3x的最小正周期是2π；2sinxsin(x2)sin(x)（3）设ω≠0，因为，2所以y=sinωx的周期为。其中正确的命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3例5求下列函数最小正周期2ycos(x2)（1）；（1）T=

8、1；xx

9、a

10、xytgctgT（2）aa；（2）2；ysin(x)sin(x)（3）36；（3）T=π；44ycosxsinx（4）；（4）T=π；cosxy（5）1sinx；（5）T=2π；2tg2xy2T1tg2x（6）；（6）2；T（7）y=

11、sin2x

12、；（7）2；24sinx(1tanx)y2secx(1tanx)例6求函数的周期。解：y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4xxk注意到函数的定义域为{x

13、x∈R，且2，k∈z}在直角坐标系中，画出其图象观察图象并根据周期

14、函数的定义，可直所求函数的周期是π。第3页共22页nf(x)sin(nN)例7．已知函数3，求：f(1)+f(2)+f(3)+⋯⋯+f(100)的值。解：nf(n)sin(nN)由函数3的周期为6可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0又100=6×16+4∴f(1)+f(2)+⋯⋯+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)333302222例8．求下列函数的最小正周y

15、sin(2x)

16、（1）3T（1）21y

17、sin(2x)

18、（2）32（2）T=π求周期的一般思路大致有两种

19、：一是化目标函数为单函数的形式，如y=Asin(ωx+φ)+B；二是可结合图象进行判断。例10．试判断下列各函数的奇偶性：（1）f(x)=

20、sinx

21、-xctgx；（2）f(x)=sinx-cosxtgx；第4页共22页1sinxcosxf(x)（3）1sinxcosx；非奇非偶函数既奇又偶函数说明：定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以在判断函数的奇偶性时