高考数学总复习讲座第四讲复习三角函数

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1、第四讲复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。三、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集

2、合{α

3、α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α

4、α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α

5、α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式l=

6、α

7、R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(

8、x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种

9、函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3）分类讨论。四、典型例题例1、已知函数f(x)=（1）求它的定义域和

10、值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性。解题思路分析：（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴函数定义域为，k∈Z∵∴当x∈时，∴∴∴函数值域为[）（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴f(x)不具备奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、化简，α∈（π，2π

11、）解题思路分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵∴原式=∵α∈（π，2π）∴∴当时，∴原式=当时，∴原式=∴原式=注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。例1、求。解题思路分析：原式=注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、已知00<α<β<900，且sinα

12、，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。解题思路分析：由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-∴sinβ-sinα=又sinα+sinβ=cos400∴∵00<α<β<900∴∴sin(β-5α)=sin600=注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；（2）已知，求的值。解题思路分析：（1）从变换角的差异着手。∵2α+β

13、=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=（2）以三