高考数学总复习讲座第三讲 复习数列

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1、第三讲复习数列一、本讲进度《数列》复习二、本讲主要内容1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；2、一般数列的通项及前n项和计算。三、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an

2、，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列（1）定义，{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）；（2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；前n项和公式：；（3）性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；若{an}，{bn}均为等差数列，则{an

3、±nn},{},{kan+c}（k，c为常数）均为等差数列；当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；当2n=p+q时，2an=ap+aq；当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。3、等比数列（1）定义：=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）；（2）通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m;前n项和公式：；（3）性质当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3

4、an-2=…，当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{}成等比数列。4、等差、等比数列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若{an}为等差数列，则{}为等比数列（a>0且a≠1）；若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。一、典型例题例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…

5、+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设{an}首项为a1，公差为d∵a1，a5，a17成等比数列∴a52=a1a17∴（a1+4d）2=a1(a1+16d)∴a1=2d设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中：在等比数列中：∴∴注：本题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。例2、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。解题思路分析：法一

6、：利用基本元素分析法设{an}首项为a1，公差为d，则∴∴∴此式为n的一次函数∴{}为等差数列∴法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn∴解之得：∴，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn.解题思路分析：（I）涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。∵∴4Sn=(an+1)2∴4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2）∴4(Sn-Sn-1)=(an

7、+1)2-(an-1+1)2∴4an=an2-an-12+2an-2an-1整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0∵an>0∴an-an-1=2∴{an}为公差为2的等差数列在中，令n=1，a1=1∴an=2n-1（II）∴注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。例4、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为

8、奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。解题思路分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n-1，n∈N+则∴∴n=4∴m=7∴an=11∴a1+am=2an=22又a1-am=18∴a1=m=2∴d=-3∴an=-3n+23例5、设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项a