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1、数值分析NumericalAnalysisheut-liucf163heut08yjs163河北理工大学HEBEIPOLYTECHNICUNIVERSITY第三章函数逼近函数逼近函数逼近的基本概念1正交函数系的性质正交多项式的构造函数的最佳平方逼近正交多项式的基本概念第1节函数逼近的基本概念函数逼近（足够的小）N维空间N+1维空间定理1Weierstrass范数与赋范空间内积与内积空间N维数量空间内积推而广之内积空间常用的范数为：内积空间的重要结论定理2Cauchy-Schwarz不等式特别地定理3Gram矩阵第2节正交多项式定义6.2一、正交多
2、项式的概念三角函数系：正交性：回忆傅氏级数的结论区间[a,b]上关于权函数的正交函数系必定线性无关证明证毕定理6.2二、正交多项式的性质证明：定理6.3证毕三、正交多项式系的主要特征四、正交多项式系的构造Clear[x,f]f[0]=1;f[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*f[i],{x,0,1}])/(Integrate[f[i]^2,{x,0,1}])*f[i],{i,0,k-1}]Table[f[k],{k,0,6}]//N;Expand[%]//N;MatrixForm[%]F[i_,j_]:=Integrate[
3、f[i]f[j],{x,0,1}]Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];MatrixForm[%]程序设计请同学们写出正交性验证：请同学们写出及其结构特点五、勒让德(Legendre)正交多项式请同学们写出3.23切夫多项式六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式及其结构特点请同学们写出七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式第3节函数的最佳平方逼近为定义在[a,b]上的一组线性无关的连续函数。如果函数使得一、最佳平方逼近的概念定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，特别地二、最佳平方逼近函数的求解根据多元函数取极值的
4、必要条件得：注意Clear[g,f,G]f[x_]:=？？？g[n_]:=x^n;G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,0,1}]GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,0,1}]A=Table[G[i,j],{i,0,n},{j,0,n}];MatrixForm[%]b=Table[GF[i],{i,0,n}];MatrixForm[%]LinearSolve[A,b]//NF=%.Table[g[i],{i,0,n}]程序设计求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式例（P141例5）【解】正规方程
5、组为所以在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式为注意若用正交多项式，正则方程组较简单求在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式首先构造正交多项式例6）【解】Clear[g,f,G,F]f[x_]:=Sin[Pi*x];g[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*g[i],{x,0,1}])/(Integrate[g[i]^2,{x,0,1}])*g[i],{i,0,k-1}]Table[g[k],{k,0,2}];MatrixForm[Expand[%]]G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,0,1}]Ta
6、ble[G[i,j],{i,0,2},{j,0,2}];MatrixForm[%]GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,0,1}]F[n_]:=Sum[GF[n]/G[n,n]*g[n],{n,0,2}];F[n]//N;Expand[%]程序设计求利用已知的正交多项式系Legendre多项式是[-1,1]上正交多项式系例6【解】正规方程组的解为：Clear[g,f,G]f[x_]:=Exp[x];g[n_]:=x^n;G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,-1,1}]GF[i_]:=Integra
7、te[f[x]g[i],{x,-1,1}]A=Table[G[i,j],{i,0,3},{j,0,3}];MatrixForm[%]b=Table[GF[i],{i,0,3}];MatrixForm[%]LinearSolve[A,b]//N;F=%.Table[g[i],{i,0,3}]程序设计Clear[g,f,G,F]f[x_]:=Exp[x];g[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*g[i],{x,-1,1}])/(Integrate[g[i]^2,{x,-1,1}])*g[i],{i,0,k-1}]Table[g[k
8、],{k,0,3}];MatrixForm[Expand[%]]G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,-1,1
