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《数值分析第8讲正交多项式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值分析NumericalAnalysisheut-liucf@163.comheut08yjs@163.com河北理工大学HEBEIPOLYTECHNICUNIVERSITY第三章函数逼近函数逼近函数逼近的基本概念1正交函数系的性质正交多项式的构造函数的最佳平方逼近正交多项式的基本概念Heut-lcf@163.com第1节函数逼近的基本概念Heut-lcf@163.com函数逼近（足够的小）N维空间Heut-lcf@163.comN+1维空间定理1WeierstrassHeut-lcf@163
2、.com范数与赋范空间内积与内积空间N维数量空间内积Heut-lcf@163.com推而广之Heut-lcf@163.com内积空间常用的范数为：Heut-lcf@163.com内积空间的重要结论定理2Cauchy-Schwarz不等式特别地Heut-lcf@163.com定理3Gram矩阵Heut-lcf@163.com第2节正交多项式Heut-lcf@163.com定义6.2一、正交多项式的概念Heut-lcf@163.com三角函数系：正交性：回忆傅氏级数的结论Heut-lcf@163.c
3、omHeut-lcf@163.com区间[a,b]上关于权函数的正交函数系必定线性无关证明证毕定理6.2二、正交多项式的性质Heut-lcf@163.com证明：定理6.3Heut-lcf@163.com证毕Heut-lcf@163.com三、正交多项式系的主要特征Heut-lcf@163.com四、正交多项式系的构造Heut-lcf@163.comClear[x,f]f[0]=1;f[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*f[i],{x,0,1}])/(Integrate[f
4、[i]^2,{x,0,1}])*f[i],{i,0,k-1}]Table[f[k],{k,0,6}]//N;Expand[%]//N;MatrixForm[%]F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];MatrixForm[%]程序设计Heut-lcf@163.com请同学们写出Heut-lcf@163.com正交性验证：Heut-lcf@163.com请同学们写出Heut-lcf@163.com及其结构
5、特点五、勒让德(Legendre)正交多项式Heut-lcf@163.comHeut-lcf@163.comHeut-lcf@163.com请同学们写出Heut-lcf@163.com3.23切夫多项式六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式及其结构特点Heut-lcf@163.comHeut-lcf@163.com请同学们写出Heut-lcf@163.com七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式Heut-lcf@163.com第3节函数的最佳平方逼近Heut-lcf@163.com为定义
6、在[a,b]上的一组线性无关的连续函数。如果函数使得一、最佳平方逼近的概念定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，Heut-lcf@163.com特别地Heut-lcf@163.com二、最佳平方逼近函数的求解根据多元函数取极值的必要条件得：Heut-lcf@163.com注意Heut-lcf@163.comClear[g,f,G]f[x_]:=？？？g[n_]:=x^n;G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,0,1}]GF[i_]:=Integrate[f[x]g[
7、i],{x,0,1}]A=Table[G[i,j],{i,0,n},{j,0,n}];MatrixForm[%]b=Table[GF[i],{i,0,n}];MatrixForm[%]LinearSolve[A,b]//NF=%.Table[g[i],{i,0,n}]程序设计Heut-lcf@163.com求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式例（P141例5）【解】Heut-lcf@163.com正规方程组为所以在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式为Heut-lcf@163.com注意若用
8、正交多项式，正则方程组较简单Heut-lcf@163.com求在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式首先构造正交多项式例6）【解】Heut-lcf@163.comHeut-lcf@163.comClear[g,f,G,F]f[x_]:=Sin[Pi*x];g[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*g[i],{x,0,1}])/(Integrate[g[i]^2,{x,0,1}])*g[i],{i,0,k-1}]Table[g[k],{k,0,2}];MatrixForm[Exp
