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1、数学（扩展模块）第1章三角公式及应用1.1和角公式1.2正弦型函数1.3正弦定理与余弦定理1.1和角公式两角和与差的余弦公式1.1.1我们知道：cos60°=,cos30°=，cos60°+cos30°=，cos(60°+30°)=cos90°=0，显然cos60°+cos30°≠cos(60°+30°)，由此可知，一般情况下，对于任意两个角α、β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.1.1和角公式如图1-1所示，
2、设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cosα,sinα)，点C的坐标为(cosβ,－sinβ)，因此向量=(cosα,sinα)，向量=(cosβ,－sinβ),且=1,=1，于是·=··cos(α+β)=cos(α+β)，1.1和角公式设向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且=θ，则a·b=
3、a
4、·
5、b
6、·cosθ，又由于a·b=x1x2+y1y2，则
7、a
8、·
9、b
10、·cosθ=x1x2+y
11、1y2.学习提示1.1和角公式又由于·=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我们得到了两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（1-1）式（1-1）反映了α+β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系图1-11.1和角公式当α,β为任意角时，式（1-1）仍然成立，同学们可以通过锐角情况下的结论，利用三角函数的诱导公式来证明.学习提示1.1和角公式将式（1-1）中的β换成－β，则有cos(
12、α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.由此，我们得到了两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（1-2）式（1-2）反映了α－β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意角、同名称、符号反.学习提示1.1和角公式例1不用计算器，求cos75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-1）得cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°
13、－sin30°sin45°=1.1和角公式例5化简下列各式：（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°；（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ.解和角公式（1-1）把角α+β的三角函数转化成了α,β的三角函数式.如果反过来，从右向左使用式（1-1），我们就可以将上述的三角函数式化简.（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°sin4=cos(40°+20°)=cos60°=1/2.（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ=cos［(α－β)+β］=cosα.1.1和角公
14、式练一练1.不用计算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.2.化简下列各式，并求值：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°；（2）1.1和角公式两角和与差的正弦公式1.1.2我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据两角和的余弦公式式（1-1）我们可以计算出，因此有这一等式.这说明余弦函数与正弦函数之间是可以互相转化的，也为我们推导两角和的正弦公式提供了有力的工具.1.1和角公式由此，我们得到了两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+co
15、sαsinβ.（1-3）式（1-3）反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式将式（1-3）中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（1-4）式（1-4）反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式例6不用计算器，求sin75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-3）得s
16、in75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=1.1和角公式例7不用计算器，求sin15°的值.解将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-4）得sin15°=sin(45°－30°)=sin45°c
