数学分析(第8.2节换元积分法与分部积分法)ppt课件.ppt

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1、第8章不定积分不定积分概念与基本积分公式换元积分法与分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积分第8.2节换元积分法与分部积分法第一换元积分法（凑微分法）第二换元积分法分部积分法一、第一换元积分法（凑微分法）1.问题的提出解决方法而利用复合函数，设置中间变量.令我们知道若则设(且可微，根据复合函数微分法)于是可得下述定理在一般情况下：注意使用此公式的关键在于将被积表达式凑成第一换元公式定理1（第一换元积分法）凑微分法证例1求解一解二解三例2求解常见的凑微分形式有例3求解例4求解熟练以后就不需要进行转化了例5求解例6求解例7求解正、余弦三角函数积分偶次

2、幂降幂奇次幂拆开放在微分号后面解例8求例9求解例10求解利用三角学中的积化和差公式，得解类似地可推出例11求练习提示二、第二换元积分法第一换元法是通过变量替换第二换元法则是通过变量替换将将例13求解令考虑到被积函数中的根号是困难所在，故第二换元公式定理2（第二类换元积分法）证事实上，例14求下列不定积分（利用适当的三角代换化为易求的积分）解由辅助三角形（如图）求解求解令例15用倒代换或根式代换求不定积分解例16求令解当分母的阶>>分子的阶时,可考虑试用倒代换练习提示基本积分表续小结两类积分换元法：凑微分三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律

3、可令可令可令三、分部积分法(IntegrationbyParts)问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式关键处理两类不同类型函数的乘积的不定积分例1求积分解若令显然，选择不当，积分更难进行.令例2求积分解若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3求积分解（再次使用分部积分法）例4求积分解令例5求积分解若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.例6求积分解有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。例7求积分解注意

4、循环形式同理可计算例8求积分解例9求积分解令解两边同时对求导,得例10例11（递推法）解由此解出合理选择正确使用分部积分式小结(1)被积函数是幂函数与正(余)弦函数的乘积,设幂函数为u(假定幂指数是正整数)一般地(2)被积函数是幂函数与指数函数的乘积,设幂函数为u,(假定幂指数是正整数)(4)被积函数是指数函数与三角函数乘积,二者皆可作为u,但作为u的函数的类型不变。(3)被积函数是幂函数与对数或反三角函数的乘积，设对数函数或反三角函数为u.降幂法升幂法循环法练习题练习题答案