数学基础--物理ppt课件.ppt

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1、第一章数学基础理论力学主要的数学工具是几何矢量。矢量的描述及其运算依靠矩阵。注意：一般科技书中，矢量也是一种矩阵，但是，理论力学中，二者必须加以区别。理论力学中涉及到的参数多为矢量本章主要内容1-1矩阵#矩阵的定义与运算#矩阵的导数1-2矢量#矢量、矢量基和基矢量#矢量的代数描述#矢量对时间的导数1-3方向余弦矩阵1-4平面矢量1-1矩阵1-1-1矩阵的定义和运算称为m×n阶矩阵m行，n列采用黑体字方括号或圆括号注意与行列式的区别若干常用、特殊矩阵：1、方阵行数等于列数，如：2、零矩阵所有元素都为零记为：03、单位矩阵主对角线元素为1其余元素均为零的方阵4、对称矩阵元素满足：5、反

2、对称矩阵元素满足：记为：I矩阵的主要运算规则：1、矩阵相等，如A=B阶数相同，对应元素相等2、矩阵相加，如A+B条件？结果？3、矩阵和标量相乘，如S·A所有元素分别乘S4、矩阵相乘，如AB条件？结果？规则？注意：BA=AB5、矩阵的转置，记为AT矩阵和的转置与积的转置：6、矩阵的逆矩阵，如A-1何谓逆矩阵？若BC=I，B与C互为逆矩阵7、正交矩阵何谓正交矩阵？每一列（行）均为单位向量任意两列（行）的积等于零B与C必须是方阵，且为满秩矩阵—非奇异阵若A为正交矩阵，则有：A-1=AT例如：由于AB=BA=I，所以二者互为逆矩阵。且A、B均为正交矩阵，即有A-1=AT，B-1=BT。1-

3、1-2矩阵的导数1、矩阵对时间的导数矩阵的元素为时间的函数，如：A=A(t)，元素为Aij(t)条件是：结果为：同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。表达式：简记为：以下关系成立：例题请自己看书2、矩阵对变量的偏导数今有一m阶列阵其中，元素为q的函数q为n个变量组成的列阵：于是，Φ对变量q的偏导数定义为：举例：定义由两个变量θ1和θ2组成的列阵今有一标量函数求它们对变量阵q的偏导数。和一3阶列矩阵1-2矢量1-2-1矢量、矢量基和基矢量1、矢量的定义：矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面加一箭头表示，如：矢量的大小称为模，记为：模为1的矢量称为单位矢量，模为零则为零矢量几

4、何矢量：矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为其方向。2、矢量的运算（1）矢量相等：模相等且方向一致，如：（2）与标量相乘：结果为一矢量，如：（3）两个矢量的和：结果为一矢量，如：求和（也称为合成）按平行四边形法则进行。求和运算遵循结合率和交换率多个矢量的和可以两两合成（4）两个矢量的点积（数量积或标量积）：结果为一标量，如：其中，a，b设为矢量的模，θ为两个矢量正方向的夹角点积与向量的位置无关，即符合交换率。（5）矢量的叉积：结果为一矢量，如的大小为：的方向：按照右手法则θ矢量叉积的几个问题：（1）服从分配率和结合率；（2）两个矢量交

5、换叉乘位置，结果方向相反；（3）矢量多重积3、矢量基与基矢量矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采用比较多的是矢量的代数表达方法。为此需要构成一个参考空间，具体的做法是用过点O的三个正交的单位矢量依次按右手法则构成一个坐标系O称之为矢量基(简称基)点O称为该矢量基的基点三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量何谓正交性？基矢量的点积和叉积的结果如何？矢量基的表示：将基矢量构成一个矢量列（凡矢量阵用上面加一箭头的黑斜体字符表示，以区别于标量矩阵）：对于不同的基，基矢量加上标进行区分。矢量阵的运算：参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个矢量当作一个标量元素处理。根据矢量乘积，以上两式可以简

6、化为：1-2-2矢量的代数描述1．矢量与矢径的代数描述在某个矢量基上，任意矢量均可通过三个正交矢量的和表示基矢量上的三个分矢量简称为分量标量系数a1,a2,a3分别称为该矢量在三个基矢量上的坐标，即投影它们分别为三个分矢量的模。这三个坐标构成一个标量列阵称为这个矢量在该矢量基上的坐标阵，记为：矢量在该矢量基上的坐标方阵为定义显然，有：矢量的坐标方阵今后会经常碰到[例1.2-1]图示一长方体，其中AB=1，BC=1.2，BQ=0.8。图中给出了基在该基上的坐标阵与坐标方阵。写出矢量由于：坐标方阵为：坐标阵：矢径的概念由矢量基的基点出发，到达空间某一点P的矢量称为矢径O即为一矢径P与空

7、间矢量一样，矢径也可以用其分量表示为:设该矢径在矢量基上的投影为：坐标阵为：基矢量的坐标阵根据矢径的概念，基矢量的坐标阵为：O空间任意矢量的坐标阵表示利用矩阵乘法即同一个矢量的不同基的描述需要注意的是，矢量在空间是客观存在的，矢量基则是人为选取的，因此，矢量的存在与矢量基无关，但是，矢量的描述与矢量基密切相关，同一个矢量相对不同的矢量基有不同的表达结果。例如，有两个不同的矢量基：矢量和在这两个基上的坐标阵分别记为：由：或2、矢量的运算与其坐标阵运算间的关系矢量坐标阵分