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时间:2020-10-03
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1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形高中新课程数学必修⑤第一课时1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢?问题提出1.在直角三角形中,三边a,b,c,及锐角A,B之间有怎样的数量关系?ABCabc3.对于直角三角形,我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系,我们需要建立相关理论进行沟通,这是一个有待探究的课题.2.三角形是最基本的几何图形,许多与测量有关的实际问题,都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间
2、的距离;飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度;在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度;测量在海上航行的轮船的航速和航向等.正弦定理知识探究(一):正弦定理的形成思考1:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则sinA,sinB,sinC分别等于什么?CABabc思考2:将上述关系变式,边长c有哪几种表示形式?由此可得什么结论?CABabc思考3:可变形为,在锐角△ABC中,该等式是否成立?为什么?CABabD思考4:若∠C为钝角,是否成立?若∠A为钝角,是否成立?若∠B为钝角,是否成立?CABabCABabDD思考5:在任意三角形中,同理可得,
3、,因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理?在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等.知识探究(二):正弦定理的向量证明思考1:在△ABC中,向量,,之间有什么关系?CABab思考2:若∠A为锐角,过点A作单位向量i,使i⊥,则向量i与,,的夹角分别是什么?CABabi思考3:由可得什么结论?CABabi思考4:若∠A为钝角,上述推理过程有什么变化?所得结论如何?CABabi思考5:若证明,应如何作单位向量i?CAcbBi理论迁移例1在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形.C=66.2°,b≈80.1cm,c≈74.
4、1cm.例2在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.例3在△ABC中,已知a=60cm,b=50cm,A=38°,解三角形.sinB≈0.8999,B≈64°,C=76°,c≈30cm;或B≈116°,C=24°,c≈13cm.sinB≈0.5131,B≈31°,C=111°,c≈91cm小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式,它由三个等式组成即,,每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题:一类是已知两
5、角和一边解三角形;另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题,要注意确定解的个数.作业:P4练习:1,2.1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第二课时问题提出1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么?在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等.2.在解三角形中,利用正弦定理可以解决哪两类问题?已知两角和一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.3.在正弦定理中,有什么几何意义?利用正弦定理可以得到哪些相关结论?这需要我们作进一步了解和探究,加深对正弦定理的理性认识.正弦定理的拓展3.在正弦定理中,3.在正弦定理中,探究(一):正弦定理的几何意
6、义思考1:在直角三角形ABC中,等于什么?CABabc3.在正弦定理中,3.在正弦定理中,思考2:如图,作△ABC的外接圆,你能构造一个一条直角边长为a,其对角大小为A的直角三角形吗?DCABaO思考3:设△ABC的外接圆半径为R,则等于什么?思考4:如图,若∠A为钝角,上述结论还成立吗?若∠A为直角呢?DCABaO探究(二):正弦定理的变式拓展思考1:在三角形中有“大边对大角”原理,如何利用正弦定理进行理论解释?思考2:利用等比定理,正弦定理可作哪些变形?思考3:利用正弦定理如何求三角形的周长?思考4:设△ABC的外接圆半径为R,则其面积公式可以作哪些变形?思考5:在△
7、ABC中,设∠A的平分线交BC边于点D,则(角平分线定理),你能用正弦定理证明这个结论吗?CABD理论迁移例1在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,B=30°,求△ABC的面积.例2在△ABC中,已知,sinB=sinC,且△ABC的面积为,求c边的长.例3在△ABC中,已知acosB=bcosA,试确定△ABC的形状.等腰三角形例4在△ABC中,已知,求角A的值.120°小结作业1.正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理,它不仅可以用来求三角形的边角值,而且可以在三角变换中实现边角转化,是解决三角形问题的一个重要工具.2.
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