最优控制 第六章 极小值原理ppt课件.ppt

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1、第六章极小值原理极小值原理是原苏联学者庞特里亚金于1956年提出的。它从变分法引伸而来，与变分法极为相似。因为极大与极小只相差一个符号，若把性能指标的符号反过来，极大值原理就成为了极小值原理。极小值原理是解决最优控制，特别是求解容许控制问题的得力工具。用古典变分法求解最优控制问题，都是假定控制变量u(t)的取值范围不受任何限制，控制变分δu是任意的，从而得到最优控制u*(t)所应满足的控制方程。但是，在大多数情况下，控制变量u(t)总要受到一定限制，δu不能任意取值，控制变量被限制在某一闭集内，即u(t)满足不等式约束条件在这种情况下，

2、控制方程已不成立，所以不能再用变分法来处理最优控制问题。(2)一、连续系统的极小值原理设系统状态方程为(1)初始条件为x(t0)=x0，终态x(tf)满足终端约束方程式中N——q维连续可微的矢量函数，q≤n。控制式中g——l维连续可微的矢量函数，l≤r。(3)受不等式约束式中，Φ和L——连续可微的矢量函数tf——待定终端时刻。最优控制问题就是要寻求最优容许控制u(t)在满足上列条件下，使J为极小。性能泛函(4)与前面讨论过的等式约束条件最优控制问题作一比较，可知它们之间的主要差别在于：这里的控制u(t)是属于有界闭集U，受到不等式g[x

3、(t),x(t),t]≥0约束。为了把这样的不等式约束问题转化为等式约束问题，采取以下两个措施：虽然u(t)不连续，但w(t)是连续的。若u(t)分段连续，则u(t)是分段光滑连续系统。(5)1)引入一个新的r维控制变量w(t)，令(6)无论是正是负，恒非负，故满足g非负的要求。2)引入另一个新的l维变量z(t)，令的极值问题。(7)通过以上变换，便将上述有不等式约束的最优控制问题转化为具有等式约束的波尔扎问题。再应用拉格朗日乘子法引入乘子λ和γ(读gamma)，问题便进一步化为下列增广性能泛函(8)(9)为简便计，令哈密尔顿函数为、δ

4、Jx、δJw、δJz分别是由于tf、x、w、z于是J1可写成(10)现在求增广性能泛函J1的一次变分(11)式中作微小变化所引起的J1的变分。(12)注意到(13)故(14)(15)把式(12)～式(15)代入式(11)，最后得由于δtf、δxT(tf)、δx、δw、δz都是任意的，于是由δJ1=0可得增广性能泛函取极值的必要条件，是下列各关系式成立。(16)1)欧拉方程(17)(18)(19)即即2)横截条件(22)(21)(20)(23)将代入式(17)，并注意到，便得到1)欧拉方程(24)(25)(26)2)横截条件(27)(28

5、)(29)(30)对上列方程稍作分析可知：1)由式(24)看出，只有当g不含x时，才有(31)与通常的伴随方程一致。2)式(18)和式(19)说明和均为常数，又由式(22)和式(23)可知，它们在终端处为零，故沿最优轨线，恒有(32)3)若将代入，则得即这表明在有不等式约束情况下，沿最优轨迹这个条件已不成立。值得指出的是，式(24)～式(30)只给出了最优解的必要条件。为使最优解为极小，则还必须满足维尔特拉斯函数沿最优轨迹为非负的条件，即(33)由于沿最优轨线有和，，并且，所以上式可写成即上式表明，如果哈密尔顿函数H看成的函数，那么最优

6、轨迹上与最优控制u*(t)相对应的H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的一个重要结论。(34)以，代入上式，便得(35)定理设系统状态方程为(36)控制约束为终端约束为，待定(38)(37)始端条件为性能泛函为取哈密尔顿函数为则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨迹x*和最优协态矢量λ*满足下列关系式：(39)(40)1)沿最优轨线满足正则方程(41)若g中不包含x，则为(43)(42)2)在最优轨迹上，与最优控制u*相应的函数取绝对极小值，即(44)沿最优轨迹，有(45)或3)函数在最优轨迹终点处的值决定于(47)(

7、46)4)协态终值满足横截条件5)满足边界条件这就是著名的极小值原理。(48)下面对定理作些说明：1)定理的第一、第二个条件，即式(41)～式(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题，且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其中，第二个条件：说明，当u(t)与u*(t)都从容许的有界闭集U中取值时，只有u*(t)能使函数沿最优轨迹x*(t)取全局最小值。这一性质与闭集U的特性无关。将上述条件与等式约束下最优控制的必要条件作一比较，可以发现，横截条件和端点边界条件没有改变，只是这一条件不成立，代之以条件此外，协态方程也略有改变，仅当

8、g函数中不包括x时，方程才与前面一致。第三个条件，即式(46)，描述了H函数终值与tf的关系，可用于确定tf的值。在定理推导过程中看出，该条件是由于tf变动而产生的，因此当终端时刻固定时，该条件将不复存在。