最优控制极小值ppt课件.ppt

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1、第二章极小值原理最优控制问题，实质上是求某个性能泛函的条件极值问题。前一章研究了求泛函极值的经典方法，即变分法。利用变分法求解最优控制问题的中心内容是求解欧拉方程和相应的横截条件。但是，在导出欧拉方程时利用了变分法的基本预备定理，这就要求容许状态和控制的变分、是任意的。换句话说，就是n维状态矢量和m维控制矢量都不受限制，可以在n+m维空间里任意取值；然而，如果最优控制问题存在不等式约束，比如要求满足条件那么，和只容许在n十m维空间里某个闭集中取值。在这种情况下，、不再是任意的，用经典变分法来求解是十分困难的。即使采用上—章介绍的化不等式约

2、束为等式约束来处理，也只能针对具体问题具体分析，得不出具有普遍意义的关系式。为了解决这个问题，在50年代中期，苏联学者庞特里雅金在经典变分法的基础上发展起来一种方法，叫做极小值原理。极小值原理也常称做极大值原理，它们在本质上是一回事，只是叙述方式稍有不同。极小值原理的一个显著特点是由它求出的结果易于建立最优控制系统的普遍结构形式，它不仅适用于处理带有开集性约束条件的最优控制问题，而且也适用于处理带有闭集性约束条件的最优控制问题；因此，应用十分广泛，至今已成为求解最优控制问题的强有力的工具。本章首先介绍应用哈米尔登函数法求解变分学中的被尔扎

3、问题，然后介绍威尔斯特拉斯E函数，为推导极小值原理做准备；最后介绍极小值原理，包括有控制变量不等式约束的极小值理、有控制变量及状态变量不等式约束的极小值原理，以及离极小值原理。一、波尔札问题及其解法这一节研究变分学中的波尔札问题，通过它来介绍求解变分问题的哈米尔登函数法。哈米尔登函数法仍然属于变分法的内容。但是，由它导出的结果在许多方面同极小值原理的结果十分相似，可以把它看成极小值原理的特殊情况，即只存在性约束条件的情况。这正是我们不把这部分内容放在研究经典变分学的第一章的原因。下面，首先讨论固定端点时间的波尔札问题，然后讨论未定终端时间

4、问题。1．固定端点时间、无不等式约束的波尔札问题本小节研究这样几个问题：(1)应用哈米尔登函数法导出在微分方程等式约束下性能泛函取极值的必要条件；(2)一般条件下的横截条件；(3)哈米尔登函数的一个重要性质；(4)在微分方程等式约束下泛函取极值的充分条件；最后介绍若干应用实例。（1）在微分方程等式约束下性能泛函取极值的必要条件前一章研究过有等式约束的拉格郎问题，其约束方程和性指标具有下列形式：和现在研究在一类特殊的等式约束，即系统微分方程(2·3—1)约束下的波尔札问题。其中是维状态矢量，是待选择的m维控制矢量。取决于控制矢量和初始条件矢

5、量。是维矢量函数，它的每个元对和有连续偏导数。给定性能泛函（2.1—2）式中、和L都是连续可微的纯量函数。假设端点时间和固定。下面我们应用哈米尔登函数法来推导在系统方程(2·1—1)的约束下，使泛函J取极值的必要条件。应用拉格朗日乘子，通过矢量拉格郎乘了把系统微分方程（2·1—1）能泛函(2·1—2)，得到定义一个纯量函数（2.1—4）该函数称做哈米尔等函数。利用这个函数，方程(2·1—3)可写成（2.1—5）取的一次变分，得（2.1—6）对上式右边积分号下最后一项使用分部积分；得到把它代入方程(2·1—6)，可得(2·1一7)泛涵J’取

6、极值的必要条什是。在这里函数、、不受限制，方程(2·1—7)中、、为任意。于是，根据必要条件可得下面一组重要的关系式：(2·1—8)(2·l—9)(2·1—10)（2·1—11）方程(2·1—8)、(2·1—9)和(2·1—10)是利用哈米尔登函数法导出的欧拉方程，分别叫做系统方程和控制方程。方程(2·1—11)是相应的横截条件，式中n维矢量叫做协状态矢量方程(2·1—8)和(2·1—9)一起叫做规范方程。这里有2n+m个待定函数，，。方程(2·1—8)一(2·1—l0)提供2n+m独立方程，其中有2n个一阶微分方程，它们的解带有2n个积

7、分常数，这2n个常数正好可以利用方程(2·1—11)提供的2n个边界条件来确定。由此可以得出结论；解方程(2．1—8)一(2·1—11)便能确定待求的最优制和最优轨线。必须指出，要得出控制方程，必须任意。如不是任意的，就不能使用基本预备定理，这样，条件就不一定是使J取极值的条件。（2）关于横截条件的进一步讨论下面讨论横截条件的一般情况。假设初始状态受方程(2·1—12)的约束，其中是r维矢量函数，它的每一个元连续可微、。终端状态受方程(2·1—13)约束，其中是维连续可微函数，。在求性能泛函的极值时，方程(2。1—12)、(2·1—13)

8、分别规定了初始状态和终端状态的取值范围。利用矢量拉格郎乘子和，将约束条件(2，1—12)和(2·1—13)结合到函数和；得到(2·1—14)式中和分别是r维和q维的。根据泛函取极值的必要条件，