《极小值原理及应用》PPT课件

《《极小值原理及应用》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三讲极小值原理及应用1主要内容3.1极小值原理的提出3.2连续系统极小值原理积分型最优控制问题综合型最优控制问题3.3离散系统极小值原理（自学）2古典变分法存在的问题3.1极小值原理的提出3(1)在一般情况下，可以将控制函数U(t)所受到的约束条件利用如下形式的不等式来表示.当控制函数U(t)受到上述不等式约束,并且最优控制取决于闭集性约束的边界时，特别要求H/U(t)有定义，古典变分法便不再适用了。(2)在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数[X(tf),tf],L[X(t),U(t),t],f[X(t),U(t),t]对它

2、们的自变量具有“充分”的可微性.例如：ā4初始条件给定系统状态方程要求：确定满足约束条件的最优控制U*(t)，使系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值。1、积分型最优控制问题终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，U(t)是m维控制变量，其所受约束条件是：为容许控制域，是以U(t)为元素的m维实函数空间中的一个闭子集。容许控制3.2连续系统极小值原理问题3-15（1）设U*(t)是最优控制，X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X(t)

3、与(t)满足规范方程其中（2）边界条件为（3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0ttf）取极值，即如果不考虑约束条件，那么该最优控制问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下：控制函数U(t)不受约束或只受开集性的约束的情况下的最小值原理6(1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下，等价控制方程不是问题3-1所给定的最优控制问题解的必要条件。结论：说明：(2)在控制函数U(t)受到闭集性约束的条件下，控制方程未必是最优控制问题的解的必要条件之一。a.b.Hamilton函数H[X(t)，(t)，U(t)，t]在闭子

4、集内可能不存在极值点，以H/U来求极小值点难以奏效。7定理3-1（积分型最优控制问题的极小值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：8(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(

5、t)和最优轨线X*(t)上达到最小值,即H：哈密顿函数9(2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值是一致的。则结果是一致的，只是二式中的协态变量(t)是互为反号的。则说明:(1)用古典变分法求解控制向量无界时的泛函极值问题是最小值原理的一个特例。令哈密顿函数为：若令哈密顿函数为：10定理3-2（积分型最优控制问题的极大值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要

6、条件是：11(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最大值,即H：哈密顿函数12定理3-2极大值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值极大值原理。定理3-1极小值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最小值极小值原理。13用极小值（极大值）原理解最优控制问题

7、的一般步骤（1）列出哈密顿函数（2）求出使H极小（或极大）时的最优控制和，的关系。可分为两种情况：a能成立的，就用此式求和，的关系；b不能成立的，即有约束，或H对不连续可微，则用极小值原理分析H表达式,求出使H最小时的和，的关系式。但此时x与仍是未知数，下一步求出x、后再代入求。143.由状态方程和协态方程及相应边界与横截条件求出与。4．将与代入，可求出。5.验算。因为最小值原理解最优控制问题不是充分条件，因此，解出后须代入性能指标J的表达式进行验算。15例3-1给定一阶线性系统和初始条件其中控制作用u(t)（控制函数）的约束条件为要求确定控制

8、函数u(t)，使性能泛函达到极小值。分析：积分型最优控制问题；始端固定，终端时刻tf=1固定，终端状态X(tf)是自由；控制函数受到闭集性的约束条件。