浙江师范大学《高等数学》d9_1基本概念ppt课件.ppt

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1、第九章多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第一节多元函数的基本概念一、平面点集坐标平面：把这种建立了直角坐标系的平面直角坐标平面上的点有序实数组二元有序实数组的全体，即就表示坐标平面.如果，以点P表示(x,y)，

2、OP

3、表示点P到原点O的距离，那么集合也可表示成：=如：平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是坐标平面上具有某种性质p的点的集合称为平面点集，记作邻域：xoy平面上以P0为中心，δ>0为半径的圆内部的点P(x

4、,y)的全体.点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为平面点集设为坐标平面上的一点，那么，点与集之间有怎样的关系？只有下面三种关系.下面用领域来描述点和点集之间的关系.内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E

5、,也可能不属于E.例,求的内点和边界点(1)满足的点都是E的内点;(2)满足的点都是E的边界点,都不属于E;满足的点都是E的边界点,都属于E;聚点若对任意给定的>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)说明E的内点一定是E的聚点，E的边界点可能是E的聚点，也可能不是E的聚点例存在:点是的聚点，但圆周上的点都是的聚点，也属于.E开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,开区域连

6、同它的边界一起称为闭区域.则称E是连通集;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.连通的开集称为区域二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式当r和h在集合内取定一对值时，V的对应值就随之确定.定义1设D是的一个非空子集，称映射f

7、：为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量，点集f(D)称为该函数的值域。二元函数的定义与一元函数类似，记号f与f(x,y)的意义但是，习惯上常用记号来表示D上的二元函数f.是不同的，或表示二元函数的记号f可以任意选取.推广定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作在上述函数概念中，关键的两点为:(1)点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2)对应法则，即函数关系.关于函数概念，我们

8、主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域；(2)建立函数关系；(3)求函数值.例4要使ln(y−2x)有意义，解：即y>2x所以，定义域：须使y−2x>0例5求函数的定义域.解：有意义，须使二元函数的几何意义设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点

9、的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2.设二元函数点,则称常数A为函数(也称为二重极限)定义域为D,P0是D的聚若存在常数A,使得当点记作都有对任意正数,总存在正数,例1.设求证:证:故总有要证例2.设求证：证：故总有要证若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数例4.求解:因而此函数定义域不包括

10、x,y轴则故P0(0,2)为D的聚点.则由积的运算法则：例5.求解:这个函数的定义域D={(x,y)

11、x≠0,yR}多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注.