浙江师范大学《高等数学》d10-2二重积分计算ppt课件.ppt

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1、第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分X型区域、Y型区域直角坐标下二重积分的计算公式应注意的问题极坐标下二重积分的计算公式一、利用直角坐标计算二重积分X型区域：xyOaby=j1(x)y=j2(x)xyOaby=j1(x)y=j2(x)D：j1(x)yj2(x)，axb．xyO42Dx=y2x=2y例如：特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.dcOxx=y1(y)x=y2(y)yD：y1(y)xy2(y)，cyd．Y型区域：dcOxx=y1(y)x=y2(y)yxy

2、O42Dx=y2x=2y例如：D：0y2，y2x2y．特点：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则练习：把下列区域表为X--型区域和Y--型区域：yOx1D1(x-1)2+y2=1yOxx=y2y=x2D2D3xyOx2+y2=4x2+y2=1-114x=y2x=y+2xyO1曲顶柱体体积的计算：设f(x，y)0，则以曲面zf(x，y)为顶，以闭区域D为底的曲顶柱体的体积为．xyzOabzf(x,y)y=j1(x)y=j2(x)x0A(x0)D根据求截面面积为已知的立体体积的

3、方法，曲顶柱体的体积为设D为X型区域：D：j1(x)yj2(x)，axb．任意取一点x0[a，b]，平面xx0截曲顶柱体得一截面，其面积为．．类似地，如果区域D为Y型区域：D：y1(y)xy2(y)，cyd.，或记为二重积分的计算公式：设D为X型区域：D：j1(x)yj2(x)，axb．则有则有二次积分成的闭区域．解法1，画出区域D，可把D看成是X型区域：1x2，1yx．．Oxy12y=x12(x,y)(x,1)x于是1yx1x2例1也可以把D看成是Y型区域：1y2，yx2．成的闭区域

4、．解法2，画出区域D，Oxy12y=x12(x,y)(2,y)1y2yx2y．于是例1应注意的问题：已知比较已知比较及yx所围成的闭区域．解画出区域D，于是可把D看成是X型区域：1x1，xy1．yxO-11-1(x,1)(x,x)1．y=x例2及yx所围成的闭区域．解画出区域D，于是还可把D看成是Y型区域：1y1，-1xy．yxO-11-1y=x1(-1,y)(y,y)哪个二次积分容易计算？可把D看成是X型区域：1x1，xy1．于是又有．例2说明:若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域为计算方便,可

5、选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序.所围成的闭区域．解画出区域D，D可表为DD1+D2：-124x=y2x=y+2xyO1D1D2．xx例3解画出区域D，-124x=y2x=y+2xyOD也可表为：1y2，y2xy2．于是y所围成的闭区域．例3例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积．解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2．所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为x2y2R2x2z2R2RxyzODV1；讨论

6、1．下列积分还可以怎样写？2．积分是否能看成是积分与积分的乘积？或，．二．利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、q表达比较简单．这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分．下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域，si其中`ri表示相邻两圆弧的半径的平均值．xOyDr=rir=ri+riqiriq=qiq=qi+qisi．小闭区域的面积为：xOyDr=`riq=`qihixisi．，于

7、是即D若积分区域可表示为j1(q)rj2(q)，aqb，xOyq=aq=br=j1(q)r=j2(q)a则br讨论：区域如下图，如何确定积分限?？r=j1(q)xOyr)qa的圆周所围成的闭区域．解在极坐标系中，闭区域D可表示为0ra，0q2．．xOyr=a利用上述结果可计算出概率积分P150：于是r)q例5讨论1．下列积分还可以怎样写？2．积分是否能看成是积分与积分的乘积？例6求球x2y2z24a2体被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积．解由对称性xyzO2aD2a于是D可表示为：内容小结直角坐标系情

8、形:若积分区域为则若积分区域为则则极坐标系情形:若积分区域为计算步