d9_1基本概念

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1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第九章第一节一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、平面点集n维空间平面点集在平面中引入直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2=R×R={(x,y)

2、x,y∈R}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)

3、(x,y)具有某种性质P}例如:平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合为C={(x,y)

4、x2+y2

5、若以点P表示(x,y),则C={P

6、

7、OP

8、

9、属于E.E的边界点的全体,称为E的边界，记作(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；例如,集合{(x,y)

10、1

11、1≤x2+y2≤2}是闭集,{(x,y)

12、1

13、E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无*4.n维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作即中的每一个元素用单个粗体字母x表示,即定义:线性运算其元素称为点或n维向量.xi称为x的第i个坐标或第i个分量.称为n维空间,的距离定义为中点a的邻域为与零元0的距离为记作则称x显然趋于a,二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义1.设非空点

14、集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切例1.设求证:证:故总有要证例2.设求证：证：故总有要证若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x

15、,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数例4.求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故多元函数的极限运算法则,与一元函数的运算法则类似.例4求解定义域为D={(x,y)

16、x≠0,y∈R},(0,2)为D的聚点.由积的运算法则,得仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3四、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续

17、,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元